2.3. Представление Грибова-Фруассара

Таким образом, разложение (2.2.19) является представлением амплитуды рассеяния во всей физической области -канала. Так как содержит как -канальные пороги, так и полюса, отвечающие резонансам, то амплитуда, полученная с помощью (2.2.19), также содержит все эти -канальные сингулярности. Однако зависимости этих сингулярностей от s полностью заключены в полиномах Лежандра, которые являются целыми функциями следовательно, переменной когда фиксирована. Поэтому совершенно очевидно, что это представление должно нарушаться вне физической области -канала — например, если мы сделаем аналитическое продолжение к ближайшей сингулярности по s (или и), где ряд начинает расходиться. Поясним сказанное простым примером. Известно, что полюс можно представить как

Рис. 2.2. Сингулярности плоскости при фиксированном Вне физической области имеются: канальные полюса и точки ветвления при канальные сингулярности при (ср. рис. 1.5)

Очевидно, что это представление нарушается, когда s становится больше так как ряд расходится начиная с

На рис. 2.2 показаны ближайшие к -каналу и -канальные полюса, а также точки ветвления в плоскости Они всегда находятся вне физической области -канала и, следовательно, представление (2.2.19) справедливо в довольно малой области плоскости Мандельстама (см. рис. 1.5) вне физической области -канала. Это является большим препятствием для использования соотношений кроссинга. Например, если при малых доминирует резонанс со спином а, то хорошей аппроксимацией амплитуды рассеяния является выражение

[ср. (2.2.14) при Однако, хотя это представление удовлетворительно в физической области -канала, его нельзя использовать в физической области s-канала потому что мы знаем, что ряд (2.2.19), который аппроксимируется с помощью (2.3.1), начнет расходиться еще до того, как мы попадем в физическую область s-канала (см. рис. 1.5).

Для того чтобы получить выражение для парциальных амплитуд, которое бы включало сингулярности по следовательно, было

бы достоверным по всей плоскости Мандельстама, можно использовать дисперсионные соотношения (1.10.7). Так как из (1.7.19) и (1.7.21) следует, что

то можно переписать (1.10.7) в виде

Причем отметим, что вполне может оказаться необходимым сделать в интегралах вычитания. Подставив (2,3,3) в (2,2,18) и проинтегрировав по с помошью соотношения Неймана при условии, что порядок интегрирования можно изменить, получим следующий результат:

Эта формула называется представлением Грибова-Фруассара [202, 178] и полностью эквивалентна (2.2.18), конечно, при условии, что дисперсионные соотношения справедливы. Далее, стоит заметить, что в (2.3.4) и (2.2.18) входят совершенно различные области интегрирования по следовательно, по Так как в (2.2.18) интегрирование проводится по конечному отрезку, то парциальные амплитуды всегда однозначно определяются данным способом, во всяком случае в физической области -канала. В (2.3.4) интегрирование проводится до бесконечности, и поэтому встает вопрос о сходимости интегралов. Интегралы должны сходиться, ибо в противном случае нельзя было бы изменить порядок интегрирования при выводе (рмулы (2.3.4). Из и если то (2.3.4) определено только для Для того чтобы найти парциальные волны с необходимо знать вычитательные функции, подобные (1.10.10).