3.5.в. Интерационная процедура Мандельстама

Этот метод прямо основан на использовании представления Мандельстама, обсуждавшегося в разд. 1.11. Условие унитарности для упругого рассеяния используется для того, чтобы получить двойные спектральные функции в тех областях плоскости где соотношение упругой унитарности справедливо, а асимптотическое поведение двойных спектральных функций дает траекторию.

Исходя из (1.5.7), можно получить скачок на упругом разрезе в канале в области

где [см. (2.2.3) с заменой косинус угла рассеяния, т. е. угла между направлениями движения частиц в начальном и промежуточном состояниях; косинус угла рассеяния при переходе промежуточного состояния в конечное в канальной системе центра масс. Аналогичным образом где (см. рис. 2.1), Эти углы связаны по теореме сложения (2.2.4)

Формально мы можем подставить дисперсионные соотношения (1.10.7) для в выражение (3.5.26) и тогда получится, что при фиксированном (если пренебречь для простоты полюсными членами)

при условии [см. (1.7.21)]

Если затем заменить все на с помощью (2.3.2) и изменить порядок интегрирования, то мы придем к членам типа

[при этом необходимо использовать (3.5.27)], где введено обозначение

причем необходимо выбрать такую ветвь логарифма, на которой он является действительной функцией в области Совершая обратный переход от различных получаем

где

Как это следует из (1.11.11), двойная спектральная функция является скачком функции на ее разрезах в плоскости от скачок возникает вследствие обращения в нуль функции К. Когда , логарифм стремится к где целое число, определяемое ветвью логарифма, которую мы выбрали. Следовательно, скачок на разрезе, который идет от пороговой точки ветвления в плоскости при равен Таким образом,

Область интегрирования по находится из условий, что так как при отсутствует разрез и соответственно скачок на нем. Граница области значений где определена двойная спектральная функция дается наименьшими возможными значениями где

Поскольку точка не является особой точкой в (3.5.32), граница дается

Из соотношения (1.11.4) имеем

Из «других членов» наиболее важным является s-канальный полюс, отвечающий связанному состоянию, который в борновском приближении имеет вид

Если этот член подставить в (3.5.34), то получится

причем граница определяется из условия что соответствует (1.12.10). Если затем подставить то

Рис. 3.7. Границы последовательных вкладов в двойную спектральную функцию Получены итерированием -канального условия унитарности с s-канальным полюсным вкладом на входе. Асимптотическое поведение при и фиксированном будет следовательно, дает возмолсность найти траекторию

получится дополнительный вклад в который может быть, в свою очередь, подставлен в (3.5.34) и приведет к дальнейшему вкладу в двойную спектральную функцию с границей, определяемой условием Таким образом, можно найти итерационным методом причем последовательные вклады в двойную спектральную функцию будут иметь границы при все больших и больших значениях как показано на рис. 3.7. Это является другим методом суммирования лестниц, отвечающих многократному обмену в первом борновском приближении (3.5.38). В самом деле, (3.5.39) приводит к поведению (3.4.8) в асимптотике, а другие итерации согласуются с (3.4.11).

Конечно, выражение (3.5.38) очень далеко от истинного борцовского приближения в физике частиц. Делаются попытки включить кроссинг-симметрию ПО реджеонам: на входе берутся s-канальные реджевские полюса, а на выходе производятся -канальные реджевские полюса, при этом ищется самосогласованность в смысле бутстрапа, как это описывалось в разд 3.5а; однако вплоть до настоящего времени успехи в этом направлении довольно скромные [127, 399]. В гл. И мы будем использовать другие, подобные описанной, динамические схемы. Однако кажется весьма вероятным, что ограничение рассмотрением только планарных диаграмм совместно с условием унитарности в пренебрежении неупругими вкладами мешает нам получить надлежащую самосогласованность ответов. Цель, которая преследовалась при обсуждении этого метода, заключалась в том, чтобы показать, что итерационная процедура Мандельстама является другим способом получения реджевских траекторий, отличным от суммирования лестничных диаграмм.