7. ДУАЛЬНОСТЬ

7.1. Введение

При рассмотрении низкоэнергетнческого рассеяния в физической области s-канала часто бывает удобным представлять амплитуду рассеяния в виде ряда по парциальным волнам (4.4.9)

(7.1.1)

потому (как это уже обсуждалось в разд. 2.2), что если силы имеют конечный радиус действий то при заданном s только парциальные волны с оказываются важными. Более того, очень часто случается, что доминирующие вклады в парциальные волны вносят полюса, отвечающие резонансам. Итак, используя формулу Брейта—Вигнера (2.2.15), можно написать

Если подставить (7.1.2) в (7.1.1), то очень часто оказывается, что это выражение является довольно хорошей аппроксимацией низкоэнергетической амплитуды рассеяния, например, в области

Но как только s начинает увеличиваться, то число парциальных волн, которые необходимо учесть, начинает возрастать. Кроме того, плотность резонансов в каждой парциальной волне также начинает расти и таким образом становится значительно более трудной задача выделения вклада каждого отдельного резонанса. Следовательно, представление (7.1.1) оказывается значительно менее полезным при больших значениях Кроме того, известно, что это представление становится несправедливым, как только мы выходим за пределы границ физической области s-канала, потому что ряд начинает расходиться при подходе к ближайшей сингулярности -канала [начиная с границы эллипса Лемана (2.4.11)]. Таким образом, аппроксимации амплитуды рассеяния, основанные на (7.1.1), эффективны только в той области плоскости Мандельстама, где достаточно малы, в окрестности физической области s-канала (см. рис. 1.5).

С другой стороны, мы нашли, что при больших s очень полезно работать с разложением по парциальным волнам в -канале, преобразованным с помощью представления Зоммерфельда-Ватсона (4.6.4) в сумму по -канальным реджевским полюсам и разрезам. При высоких энергиях, скажем, когда достаточно учесть только несколько главных сингулярностей -плоскости, хотя в принципе представление Зоммерфельда-Ватсона справедливо при всех значениях

Таким образом, возникает вопрос о том, как связать две различные точки зрения. Эта проблема представляется очень важной с

практичёской точки зрения, особенно в области промежуточных энергий, например, когда в которой амплитуда начинает принимать свое гладкое реджевское асимптотическое поведение по но тем не менее некоторые нерегулярности резонансной природы могут наблюдаться (рис. 7.1.).

Рис. 7.1. (см. скан) Резонансный и реджевский полюсной вклады в при в реакции при из работы Долена и др. [143]. при низких энергиях резонансы почти полностью насыщают амплитуды, в то время как подгонка с помощью реджевской траектории проходит через экспериментальные данные усредненным образом. (Определение дано в (7.2.3) (см. ниже)

Это также ставит очень важную теоретическую задачу о том, каким образом s-канальные резонансы дают вклад в асимптотическое поведение по s или, эквивалентно, где эти резонансы проявляются в представлении Зоммерфельда-Ватсона.

Так как все вычеты в (7.1.2) являются константами, если только имеется конечное (но большое) количество резонансов, то ясно, что суммарный резонансный вклад в амплитуду рассеяния должен приводить к поведению

которое должно проявляться в представлении Зоммерфельда-Ватсона [из (2.7.2)] как фиксированный полюс при В этом случае можно сложить вклады (7.1.2) и (4.6.4) и получится

где член содержит все s-канальные резонансы, а все -канальные реджевские сингулярности с Это часто называют интерференционной моделью, потому что амплитуда осциллирует как функция из-за интерференции между резонансами и реджевскими полюсами (см., например, работы [33, 34]).

Однако в гл. 3 было показано, как в простых динамических моделях подобных лестничной (см. рис. 3.3), если s-канальные полюса ведут себя как то -канальные траектории имеют асимптотическое поведение а т. е. такое же, как и в указанном выше случае, вследствие унитаризации этого входного фиксированного полюса. Так же было найдено (см. рис. 6.6), что траектории, возникающие в реальных случаях, будут приближенно линейны: а и поэтому кажется, что они будут опускаться значительно ниже — 1. Это могло бы означать, что почему-то фиксированный полюс не дает вклада в лидирующие реджевские траектории, однако он добавляется к ним таким способом, как это было сделано в (7.1.4). Для амплитуд с четной сигнатурой, где точка является нефизической точкой чужой сигнатуры, такой дополнительный фиксированный полюс несомненно возможен (см. разд. 4.8 и 6.3), однако в случае амплитуд с нечетной сигнатурой фиксированный полюс несовместим с -канальной унитарностью. А движущийся полюс, который появляется и в области можно наблюдать, если построить график эффективной траектории.

Поэтому кажется довольно ясным, что по меньшей мере при больших значениях — -канальные резонансные полюса сокращаются один с другим так, чтобы получилось асимптотическое поведение где X а поичем а соответствует лидирующей -канальной сингулярности. Наиболее интересна возможность, когда т. е. s-канальные резонансы действительно комбинируются так, что приводят к лидирующему поведению, отвечающему полюсу Редже. Конечно, это возможно только в той области где и в том случае, если имеется бесконечное количество резонансов, таких, что ряд (7.1.2) расходится.

Эта возможность была впервые изложена в статье Долена, Хорна и Шмида [143], ставшей ныне классической, авторы которой заметили, чтоесли Сложить вклады всех резонансов, открытых с помощью фазового анализа -рассеяния (при то результат позволяет получить почти всю амплитуду рассеяния, но и в среднем приближенно равен вкладу от обмена -полюсом, полученным из подгонки экспериментальных данных при высоких энергиях, который экстраполировался в области низких энергий (см. рис. 7.1). Таким образом, оказывается, что имеет место «дуальность в среднем» между резонансами прямого канала и реджевскими полюсами перекрестных

каналов потому что, по меньшей мере при промежуточных энергиях, среднее от первого члена равно среднему от последнего, т. е.

(это утверждение будет сформулировано более строго в следующем разделе). Продолжая дальнейшее рассмотрение, можно надеяться, что с ростом плотность резонансов будет также возрастать, и это будет приводить к сглаживанию нерегулярностей и в конце концов возникнет «локальная дуальность»

без какого-либо усреднения.

К сожалению, этот аргумент не так уж неотразим по меньшей мере по двум причинам. Во-первых, всегда можно сделать другую параметризацию реджевских полюсных членов, которая сохранит их асимптотическое поведение, но угленьшит их значение в промежуточной области энергий. Например, заменой на уменьшается величина в окрестности произвольной наперед заданной точки Конечно, точка ветвления при должна быть ложной, такой же, как точка ветвления при в обычной параметризации, которая является следствием аппроксимации (6.2.26). Существенно, что эти две параметризации отличаются только на члены порядка

— т. е. это отличие на уровне дочерних траекторий, где предсказания реджевской теории неоднозначны.

Во-вторых, успех (7.1.5) вызывает сомнения в связи с тем, что не ясно, насколько достоверна идентификация неупругих резонансов с помощью фазового анализа. Как показал Шмид [356], в случае, если взять реджевский полюсный член (6.8.1) с линейной траекторией а и использовать кинематику с равными массами (1.7.22)

то s-канальное разложение по парциальным волнам (2.2.1) реджевского полюсного члена зависит от [114]

где сферическая функция Бесселя порядка (см., например, [292, с. 26]). С ростом s (а следовательно, и фаза амплитуды, определяемой выражением (7.1.7), будет вращаться против часовой стрелки, давая петлю точно такую нее, как предсказывалось для неупругого резонанса в выражении (2.2.15) (рис. 7.2). Заметим, что если фаза достигает значения что соответствует «резонансу» при то тогда будут резонансы и в дальнейшем при т. е. в точках, где фаза проходит через причем все парциальные волны будут резонировать

при одних и тех же так как фаза в (7.1.7) не зависит от Таким образом, реджевские полюсные члены будут приводить к резонаксно-подобным петлям на графиках Аргана для парциальных волн, несмотря на то, что реджевский полюсный член не содержит какие-либо полюса по

Ясно, что имеются два способа проинтерпретировать этот результат [129]. Либо нужно принять дуальность как постулат, и тогда эти петли соответствуют резонансам и являются проявлением дуальности в среднем (7.1.5), даже хотя реджевские члены не содержат s-канальных полюсов. Либо, если отречься от дуальности, петли на графиках Аргана уже больше не могут рассматриваться как достаточное условие для существования резонансов и вполне возможно, что резонансов на самом деле меньше, чем можно было предполагать, основываясь на фазовом анализе. Если это так, то феноменологическое доказательство дуальности разваливается. Смысл этой трудности заключается в том, что имеется только экспериментальное свидетельство о поведении амплитуды рассеяния вдоль действительной оси и поэтому для того, чтобы сделать аналитическое продолжение полюса на нефизический лист, требуется модель, основанная на унитарности. Формула Брейта-Вигнера (2.2.14)- представляет собой несомненно правильную модель амплитуды упругого рассеяния, в которой доминируют изолированные полюса, однако ее использование в случае сильно неупругих, перекрывающихся групп резонансов находится под большим вопросом (см. книгу Блатта и Вайскопфа [55] и работу Вейденмюллера [400]).

Рис. 7.2. Диаграмма Аргана данной парциальной волны для неупругого резонанса (см. (2.2.13) и последующие формулы). В области энергий около кривая дает круг вследствие формулы Брейта-Вигнера. однако он несколько меньше унитарного круга из-за неупругости, сдвинут в сторону от центра, а фаза может быть повернута из-за фона

Отложим обсуждение этих сомнений на конец главы, где будет больше оснований рассмотреть довольно сильные свидетельства в пользу того, что гипотеза дуальности является по меньшей мере приближенно справедливой. Следующий шаг—постараться сделать гипотезу дуальности немного более строгой.