3.5. Бутстрап

В разд. 2.8 была сформулирована гипотеза бутстрапа, которая гласила, что только те частицы, существование которых совместимо с требованиями унитарности, аналитичности по также по I, представляют собой настоящие адроны, с которыми мы все сталкиваемся в реальном мире. Если это справедливо, то тогда представляется возможным вывести свойства частиц только из условия того, что обеспечивается выполнение уравнений унитарности с ограничениями, которые налагаются условиями кроссинга. Попытки достигнуть этой цели получили название «бутстрапных вычислений».

Сложность уравнений многочастичной унитарности приводит к тому, что до сих пор еще невозможно сколь-нибудь серьезно проверить гипотезу бутстрапа. Некоторый прогресс, достигнутый в этом направлении, будет рассматриваться в разд. 11.7, а настоящий раздел будет посвящен тому, чтобы проиллюстрировать применения двухчастичной унитарности, в дополнение к обсуждениям в предыдущих разделах. Будет также дан краткий обзор трех основных подходов, которые обычно используются.

3.5а. N/D-уравнения

Эти уравнения основаны на дисперсионных соотношениях для парциальных амплитуд, и их рассмотрение находится в тесной связи с обсуждением, проведенным в разд. Из дисперсионного соотношения (2.6.20) можно написать [109]

где вклад левого разреза. Если полностью пренебречь неупругостью, то можно воспользоваться соотношением унитарности в области упругого рассеяния (2.6.23) на всем протяжении правого разреза и это приводит к

Теперь если предположить, что известны все сингулярности кроссинговых каналов, т. е. дана величина , то тогда является интегральным уравнением для амплитуды рассеяния. Для того чтобы его решить, мы его сначала линеаризуем, написав

где, по определению, функция стоящая в числителе, имеет только левый разрез, соответствующий левому разрезу амплитуды а функция правый разрез. Итак,

a с другой стороны,

Это получается с помощью условия унитарности (2.6.23). Используя (2.2.10) и (2.6.8), получаем

Поскольку функция действительна при функция должна иметь фазу вдоль всего правого разреза, -Если известна эта фаза, положения всех полюсов в точках и всех нулей в точках на физическом листе, по

помощью метода Винера — Хопфа (см. Титчмарш [380, с. 339]) можно сконструировать функцию Она будет иметь следующий вид:

Мы предположили, что фаза т. е. в интеграле требуется сделать только одно вычитание в точке Мы настаиваем (как и в разд. на том, что полюсам амплитуды соответствуют нули функции а не полюса функции Это могут быть либо связанные состояния, лежащие на физическом листе при либо резонансы на нефизических листах, где Тогда из (3.5.7) следует

Функция выбирается стандартным образом, т. е. так, что и поэтому

Кроме того, принимая

Эта связь между асимптотической фазой и числом полюсов функции носит название теоремы Левинсона [283].

Исходя из (3.5.5) и (3.5.7), можно написать дисперсионное соотношение для функции

где вычеты полюсов. Так как вычеты и положения полюсов — произвольны, то совершенно очевидно, что функция не может быть полностью определена заданием скачка Это явление носит название КДД-неоднозначности (по начальным буквам фамилий Кастильехо, Далица и Дайсона, которые это явление обнаружили [85]). Элементарная (не составная) частица типа той, которой соответствует (3.4.1), приводит к возникновению КДД-полюсов в соответствуюющей парциальной волне.

В случае больших значений I из (2.5.5) следует, что т. е. Таким образом, в этом пределе отсутствуют связанные состояния и тем самым по теореме Левинсона (3.5.9) отсутствуют и нули Поэтому при

достаточно больших значениях КДД-неоднозначность отсутствует и амплитуды рассеяния полностью определяются заданием только скачка Однако мы требуем, чтобы выполнялась максимальная аналитичность второго рода, согласно которой низшие парциальные волны должны получаться из высших с помощью аналитического продолжения по I, и поэтому мы не можем просто так добавлять полюса в (3.5.11) при уменьшении Таким образом, аналитичность по I мешает возникновению КДД-полюсов в низших парциальных волнах.

Следовательно, имея в виду, что КДД-полюса отсутствуют, и используя (3.5.4) и (3.5.5), мы получаем окончательный вид дисперсионных соотношений для и одновременно систему интегральных -уравнений:

аналогичную (3.3.46), (3.3.47). Если теперь ввести функцию

в которой левый разрез будет отсутствовать, потому что

Ее скачок на правом разрезе будет даваться

Следовательно, она удовлетворяет дисперсионному соотношению

или, вспоминая определение (3.5.14),

Затем, с помощью (3.5.13) и (3.5.5), можно устранить функцию и тогда получится окончательно

Таким образом, для функции при заданном скачке мы имеем интегральное уравнение, которое может быть разрешено численно. А как только найдено то подстановкой его в (3.5.13) сразу находим следовательно, всю амплитуду

Эти уравнения можно легко обобщить на случай, когда имеются неупругие состояния (см. для обзора Коллинз и Сквайре [132, гл. 6]). Наиболее важным изменением является то, что связанные или резонансные состояния в одном из каналов могут проявляться как КДД-полюса в другом канале. Однако такой КДД-полюс будет возникать как следствие существования неупругого разреза при аналитическом продолжении по с высших парциальных волн на низшие и поэтому непрерывность по не нарушается. Очень существенно, что таким КДД-полюсам не отвечают никакие элементарные частицы.

Рис. 3.6. Полюса, отвечающие обмену -траекторией, в -каналах в -рассеянии

Пусть при некотором функция обращается в нуль и при этом возникает полюс в парциальной амплитуде. Продолжая это решение по I, получаем траекторию

Если затем разложить в точке то будем иметь из (3.5.3)

Таким образом, вычет в реджевском полюсе дается выражением

Простым примером использования таких уравнений является -бутстрап [415, 26, 27, 120]. Этот пример основан на наблюдении, что в низкоэнергетическом упругом -рассеянии доминирующей сингулярностью является сингулярность, отвечающая резонансу со спином единица, т. е. -мезону. Так как -рассеяние — кроссинг-симметричная реакция, то этот резонанс будет возникать во всех трех и -каналах (рис. 3.6). Итак, если мы сделаем очень сильное предположение, что это единственная существенная сингулярность, то можно получить левый разрез в -канальной парциальной амплитуде,

являющийся следствием -полюсов в и -каналах. Таким образом, из (2.6.14) имеем

где

Массу -мезона и его константу связи с -системой можно рассматривать как свободные параметры. Если подставить (3.5.22) в (3.5.19), затем разрешить уравнение и подставить решение для то в результате из рассмотрения (3.5.20) и (3.5.21) получится -канальная траектория и вычет в полюсе. Условие кроссинг-симметрии приводит к требованию, что функция должна обращаться в нуль при в точке и иметь вычет, равный Следовательно, исходя из самосогласованности при кроссинге и унитарности, можно определить эти параметры, а посредством них — константу связи и массу -мезона, т. е. только из требований самосогласованности можно найти характеристики -мезона.

К сожалению, имеется несколько чисто технических проблем, связанных с расходимостью интеграла в уравнении (3.5.19) и необходимостью в связи с этим его обрезать, поэтому мы можем говорить об успехах в качественном смысле (см. Коллинз и Сквайре [132, гл. 6]). Вероятно, это максимум, того, что можно ожидать в ситуации, когда пренебрегаем всеми другими сингулярностями и неупругой унитарностью. Однако наиболее важный вывод из всего, что было проделано выше, — это то, что метод получения траекторий в физике частиц основан на использовании методов, которые, как мы знаем, заведомо успешно применяют в потенциальном рассеянии.