11.4. Мультипериферический бутстрап

При написании мультипериферической амплитуды в мультиреджеонном виде (11.3.11) мы можем использовать любые реджевские полюса А затем при возведении в квадрат амплитуды в (11.3.14) и последующем суммировании по можно получить поведение (11.3.30) полного сечения. Таким образом, в (11.3.31) содержится условие самосогласованности поведения полного сечения с точки зрения траектории, которую мы использовали. Но очевидно, что самосогласованность отсутствует, потому что для постоянства требуется обмен помероном с а тогда как (11.3.31) требует, чтобы

Вместо этого можно было бы потребовать самосогласованности реджеонов на входе и на выходе и потребовать, сравнивая (6.8.4) и (11.3.30 чтобы

и тогда [110]

Все это является простым примером бутстрапных вычислений. Входные реджеоны, стоящие в мультипериферической цепочке, используются в соотношении унитарности, чтобы построить лестницы (рис. 11.11), которые, будучи просуммированы, снова дают реджеон; для самосогласованности этот реджеон должен быть идентичен входным реджеонам. Ясно, что это может осуществляться в лучшем случае приближенно, потому что для полной самосогласованности мы должны были бы включить разрезы в мультипериферические цепочки и рассмотреть диаграммы с пересекающимися перекладинами, которые также дают на выходе разрезы. Мы вновь рассмотрим эту проблему в последнем разделе. Но здесь мы хотим исследовать проблему в рамках аппроксимации, которая наиболее близка к полюсной, и поэтому мы будем придерживаться сильного упорядочения [см. (11.3.21) и последующие формулы] с непересекающимися перекладинами.

Рис. 11.11. Мультипериферический бутстрап для реджевской траектории

Если принять модель с обменами полюсами Редже (11.3.11) для всех амплитуд то скачок через двухчастичный разрез (рис. 11.12, б) дается формулой [ср. (8.2.11)]

a выражение для полного s-канального скачка (см. рис. 11.12) имеет вид

Поскольку эта бесконечная сумма содержит повторения одного и то же вклада двухреджеонного обмена, можно переписать ее рекурсионным способом [ср. (1.13.27), (3.4.20)], как показано на рис. 11.12,е, в форме, предложенной Чу и др. [108] и Гольдбергером [196]:

где знак означает интегрирование по проводимое способом, похожим на (11.4.4). Строго говоря, можно было бы ожидать, что при интегрировании зависят от однако для простоты будем здесь не учитывать любые такие зависимости. Интегрирование

упрощается, если рассмотреть канальные парциальные волны, определяя их [из (2.5.3)] как

Тогда уравнение (11.4.6) становится [ср. (2.2.7)] следующим:

и, следовательно,

что выражает через а (конечно, при условии, что мы считаем приемлемым приближения, сделанные в процессе вычисления). Отметим, что мы использовали -канальные парциальные волны в физической области s-канала, поэтому в действительности это является проекцией не (см. разд. 6.6).

Рис. 11.12. s-Канальный разрез амплитуды (а) в мультиреджевском приблилсенни (б)-{д). Это все может быть переписано рекурсионным образом (е)

Некоторые опасения при рассмотрении (11.4.4) и рис. 11.12, б возникают, если вспомнить о том, что эти диаграммы генерируют -разрез (8.2.17), который, как мы знаем, должен был бы сокращаться с разрезами более высокого порядка, проходящими через сами реджеоны (см. разд. 8.2). Но если мы не обратим внимания на эту трудность, то тогда фиксированный полюс на входе в (11.4.4), т. е.

где

Таким образом, из (11.4.7) и (2.7.2) с получаем

что, будучи подставлено в (11.4.8), дает

т. е. в результате получился движущийся полюс при

Отметим, что если то это выражение переходит в

в согласии с результатами, полученными в рамках теории поля (3.4.19).

Итак, учет унитарности заменяет входной фиксированный полюс (11.4.10) на движущийся. Самосогласованность входа и выхода при [область, где набирается основной вклад в интеграле (11.4.11), если падает достаточно быстро с ростом требует, чтобы

и, таким образом, в согласии с (11.4.3).

Если, с другой стороны, мы попробуем в качестве затравочного взаимодействия взять движущийся полюс

то из (8.2.17) следует

где это с помощью (2.7.4) дает

и окончательно

Таким образом, на выходе имеем -разрез, который сдвигается от своего первоначального положения при т. е. опять самосогласованность не достигнута.

По-видимому, проблема является следствием, по крайней мере частично, того факта, что для получения даже грубого описания амплитуды рассеяния необходимо включить как померон, так и вторичные реджеоны Например, если рассмотреть (11.4.9) как некоторое приближение реджеонного входа то тогда (11.4.14) может

быть рассмотрено как первое приближение для померона. Затем если ввести в формуле (11.4.8) как этот фиксированный полюс, так и (11.4.13), то получится -разрез, который образован померонами и который также должен быть включен в рассмотрение, и т. д. Окончательно самосогласованное решение характеризуется лидирующей траекторией вида

где вторичная реджевская траектория, а разрез Для того чтобы это уравнение выполнялось, мы должны Иметь

в противном случае а Свойства траектории в (11.4.20) сильно отличаются при и этот померон был назван Чу и Снайдером [112] «шизофреническим».

Однако, так как обнаружено, что сечения до сих пор продолжают расти при высоких энергиях, такого вида решение проблемы самосогласованности померона больше уже не кажется столь привлекательным. Во всех вариантах этого подхода, если не считать вычислительных сложностей, которые, вообще говоря, приводят к упрощению интегрирования по фазовому объему, кажется, имеются две серьезные трудности. Одна из них состоит в том, что генерируются -раз-резы, которые, как мы знаем из разд. 8.2, не должны были бы присутствовать, если учитывать s-канальные скачки самих реджеонов. Другая трудность заключается в необходимости предположения о сильном упорядочении, которое гарантирует присутствие только планарных диаграмм. Однако так как известно, что малые парные энергии дают наиболее важный вклад в интегралы, то все это не внушает особого доверия, особенно потому, что мы знаем о существенности вклада непланарных диаграмм, в частности, если нужно получить корректную структуру реджевских разрезов (см. работу Холлидея [214]).