6.3. Нефизические множители

Уравнение (6.2.31), однако, все еще некорректно, потому что различные факториалы, возникающие в нем, приводят к сингулярностям при нефизических значениях а (см. разд. 4.5), которые должны отсутствовать в амплитуде рассеяния. Поэтому должна содержать соответствующие множители, чтобы их сократить.

Поскольку [292]

можно переписать множитель в фигурных скобках в (6.2.31) в виде

Теперь имеет простые полюса при , тогда как а имеет полюса при Но в зависимости от того, целые или полуцелые числа и (т. е. в зависимости от того, четно или нечетно фермионное число для данного канала), один из этих наборов сингулярностей сокращается знаменателем. Поэтому потребуем, чтобы сокращал бы другие особенности определено в выражении (4.5.6)]. Такое поведение вычета определяется благодаря представлением Грибова-Фруассара.

Остаток имеет вид

который, когда где целое число, равен

и представляет собой конечное выражение для и для Напомним, что только точки имеют физический смысл, т. е. по терминологии разд. 4.5 являются -точками и таким образом полюса в этой области соответствуют физическим частицам. (Отметим, что для других они сокращаются с сигнатурным множителем.) В -точках выражение (6.3.3) ведет себя как Однако эти точки ветвления (поскольку а — функция то возникают точки ветвления по не могут присутствовать в амплитуде рассеяния, поэтому или

Представление Грибова—Фруассара (4.5.7) приводит к поведению первого типа, но, как это обсуждалось в разд. 4.8, мы надеемся, что будут выполняться сверхсходящиеся правила сумм, а в этом случае будет иметь место поведение второго типа (за исключением, возможно, точек чужой сигнатуры, где можно ожидать появления фиксированных полюсов Грибова-Померанчука). Факторизация в виде (6.2.8) требует, чтобы

где физические и нефизические значения для данного Итак, поскольку -вычет должен быть конечным, чтобы был физический полюс, -вычет должен обращаться в нуль. Если такое поведение выполняется в каждой нефизической точке, то получаем

Объединяя это с предыдущими результатами, можно записать

факторизованный вычет, на который в нефизических точках не накладывается никаких ограничений, и при подстановке в (6.2.31) это дает

(здесь означает выбор физических значений — см. ниже).

В точках своей сигнатуры, где сигнатурный множитель конечен, выражение (6.3.7) имеет поведение:

II) конечное выражение при

В точках чужой сигнатуры сигнатурные множители ведут себя как что приводит к конечному поведению в случае I, к нулю в случае II и к двойному нулю в случае III.

Однако существуют различные обстоятельства, которые могут заставить нас изменить эти выводы при

6.3а. Множители, уничтожающие духовые состояния

Если траектория при проходит через точку своей сигнатуры, то фф-вычет должен обращаться в нуль, так как иначе должна была бы существовать частица — дух с отрицательным т. е. тахион.

Поскольку ограничение Фруассара требует, чтобы при а было бы то эта трудность возникает только для траекторий с четной сигнатурой при что, как мы видим на рис. может быть приложено в действительности только к траекториям и К (1400) (и, возможно, к -траектории — см. разд. 6.86) в точке Если такой нуль присутствует в фф-вычете, он должен появиться также и в нн-вычетах из-за соотношения (6.3.4). Это иногда называется механизмом Чу [103].

6.3б. Выбор нефизических значений

При данном нефизическом значении траектория может удовлетворять условию (6.3.4) при конечном значении Это дает при как и ранее, но некоторых физических точек Если это происходит, например, для где некоторое целое число, большее то получаем

вместо (6.3.5). Возникающий в нн-амплитуде полюс не может, разумеется, соответствовать физической частице и поэтому должен сокращаться (или компенсироваться). Поскольку в нн-точке асимптотическое поведение имеет вид а не , компенсирующая траектория должна проходить через точку Это то, что иногда называется механизмом Гелл-Мана [188, 189].

Однако необходимость в такой компенсирующей траектории может быть устранена, если положить нн-вычет равным нулю, причем в этом случае дополнительные нули появятся также и в и нн-вычетах благодаря соотношению (6.3.4). Это называется бескомпенсационным механизмом.

6.3в. Фиксированные полюса чужой сигнатуры

Аргументы, приведенные в разд. 4.8, позволяют ожидать появления фиксированных полюсов (или бесконечной последовательности корневых точек ветвления) в нефизических точках чужой сигнатуры. Из-за сигнатурного множителя они не будут давать вклада в асимптотическое поведение амплитуды рассеяния. Однако если они присутствуют в вычете полюса Редже, то они будут сокращать нуль в сигнатурном множителе.

Фиксированные полюса, которые происходят из-за наличия третьей спектральной функции могут существовать в дополнение к полюсам Редже и отсутствовать в реджевских вычетах. Или, даже если в вычете есть фиксированные полюса, поскольку в точке, где нефизическая точка чужой сигнатуры), ввычет дает вклад только в то время как при всех других значениях вклад дают все три двойных спектральных функции, то вычет может, например, иметь вид

(см. скан)

Так что при а вблизи по-прежнему может быть нуль, а при а его не будет.

Табл. 6.2 суммирует все перечисленные выше возможности поведения вычета и соответствующие амплитуды для вклада реджевских полюсов.

Рис. 6.1. (см. скан) Экспериментальные данные по реакции для различных значений импульса в лабораторной системе координат. Линии отвечают подгонке с траекториями, взятой из работы [37]

Основное значение этих результатов — это предсказание, что в некоторых случаях амплитуда, отвечающая реджевскому полюсу, имеет нуль по Хорошим примером является процесс , который в -канале содержит только -траекторию, как это видно из перечня в табл. 6.5. Из рис. 5.5 (см. также рис. 6.6, а) видно, что эта траектория примерно равна а и таким образом а при -Канальными спиральными

амплитудами для этого процесса являются определенные в есть фф-точка для амплитуды и фн-точка для амплитуды есть точка чужой сигнатуры для -траектории, поскольку -мезон имеет спин 1. Так, из табл. 6.2 видно, что если нет фиксированных полюсов и траектория выбирает физические значения, то будет конечна, а будет обращаться в нуль при в то время как если бы траектория выбирала нефизические значения, то обе амплитуды обращались бы в нуль, а если бы был большой вклад фиксированных полюсов, то они обе были бы конечны. (Нефизические амплитуды появляются в процессе и не должны здесь рассматриваться.) Экспериментальные данные по процессу перезарядки (рис. 6.1) указывают на наличие минимума, а не нуля в этой точке, что свидетельствует о том, что -траектория выбирает физические значения. Но окончательный вывод зависит от того, какие другие особенности могут давать вклад в амплитуду этого процесса, такие, как, например, лежащая ниже -траектория, реджевские разрезы и т. п. Мы вернемся к этой проблеме в разд. а другое возможное объяснение этой структуры, на основе разрезов, будет представлено в разд. 8.7в.