10.10. Корреляции и корреляционная длина

В формуле (10.3.12) было определено двухчастичное инклюзивное распределение для реакции Очевидно, что динамику образования частиц можно изучать, исследуя всевозможные корреляции, которые возникают между наблюдаемыми частицами в конечном состоянии. Например, если бы частицы 3 и 4 в основном производились из распада некоторого резонанса: то импульсы этих частиц были бы сильно скоррелированы.

Можно определить двухчастичную корреляционную функцию как

где функции определяются в (10.3.10) и (10.3.15). Если корреляции в образовании частиц 3 и 4 отсутствуют, то вероятность рождения обеих равна произведению вероятностей образования каждой, т. е.

что приводит к тому, что как и должно быть. Также удобно ввести функцию

Последнее равенство легко получается из (10.10.1), (10.3.16) и Если частицы 3 и 4 одинаковы, то

На рис. 10.5 было видно, что зависит от s приблизительно логарифмически и аналогично возможна степенная зависимость от s с небольшим показателем степени).

Кроме того, можно определить трехчастичную корреляционную функцию

Некоторые корреляции должны появляться как следствие кинематики (т. е. из-за сохранения и др.) или из-за сохранения квантовых чисел и др.). (см. де Фридман и Венециано [374]). Например, так как для процесса имеем

т. е. полная энергия в с. всех вылетающих частиц должна равняться полной энергии начального состояния, значит имеется инклюзивное правило сумм, отвечающее сохранению энергии:

Рис. 10.29. Экспериментальные данные по в зависимости от для отрицательно заряженных частиц. Рисунок взят из работы Харари Кривая отвечает параметризации

Смысл его в том, что левая часть дает вероятность образования частицы типа I с энергией эта вероятность проинтегрирована по всем возможным энергиям и просуммирована затем по всем возможным типам частиц. Кроме того, так как

то аналогично имеем

Но, поскольку с помощью (10.10.1) можно выразить в терминах а кроме того, поскольку

получаем из (10.10.9)

Ясно, что второй член этого выражения положительно определен. Поэтому должно быть отрицательным. То, что получилась отрицательная корреляция, можно было бы ожидать заранее. Рассмотрим в качестве примера энергию: если частица 3 несет большую энергию, то более вероятно, что энергия частицы 4 будет малой. Аналогичные утверждения можно сделать для любых сохраняющихся величин.

Подобным образом из закона сохранения заряда имеем [подобно

если используем (10.3.11). Получившееся выражение приводит к отрицательной корреляции между зарядами частиц, родившихся в реакции.

Помимо этих кинематических корреляций могут быть динамические корреляции, которые являются следствием механизма образования частиц. В качестве иллюстрации можно упомянуть пример с распадом резонанса, рассмотренный выше. Оказывается, что такие корреляции являются много менее вероятными, если частицы образуются на большом расстоянии в пространстве быстрот (см. рис. 10.4). В связи с этим важно постараться определить расстояние в пространстве быстрот, на котором можно было бы ожидать появление сильных корреляций. Это называется «корреляционной длиной» которая определена таким образом, что корреляция между частицами 3 и 4 пренебрежимо мала, если

Таким образом, область фрагментации налетающей частицы, показанная на рис. 10.4, б, лежит в пространстве быстрот, когда

а область фрагментации мишени при

Отметим, что, поскольку мы берем которое не зависит от естественно предположить существование скейлинга и в центральной области. Но для малых поэтому две области фрагментации перекрываются и предполагается, что в этом случае скейлинг не возникает.

Диаграмма Мюллера — Редже, описывающая центральную область в процессе

является тройной реджевской диаграммой (рис. 10.30), где при условии, что отношения остаются фиксированными. Итак

в том случае, если энергия достаточно высока, можно отделить центральную область от областей фрагментации.

Рис. 10.30. Тройное реджевское представление двухчастичного инклюзивного процесса

Для этого необходимо только рассмотреть в качестве реджеонов померон, потому что случае, если получается

что дает ожидаемое скейлинговое поведение в центральной области. То, как быстро это поведение наступает, зависит от вклада вторичных траекторий в сумме по

Если использовать факторизацию, то можно написать

Таким образом, используя (10.5.7) и исходя из (10.3.5) и (10.10.15), приходим к

Это выражение не зависит от природы частиц 1 и 2. Затем с помощью (10.6.7) находим, что

а из (10.10.1) тогда следует, что и, следовательно, корреляция отсутствует. Это происходит потому, что мы предположили, что асимптотически единственный факторизуемый полюс доминирует и поэтому каждая вершина является полностью независимой.

Однако при более низких энергиях мы можем ожидать, что к реджевскому поведению появятся поправки из-за низколежащих траекторий которые также будут приводить к появлению корреляций

между частицами при неасимптотических многочастичных инвариантных массах. Чтобы определить длину в пространстве быстрот, на которой такие корреляции будут возникать, отметим, что в терминах быстроты с помощью (10.2.18) можно получить следующие выражения: и тогда

Следовательно, (10.10.15) дает

Первый член в этой сумме, который отвечает не приводит к корреляциям, как мы уже видели ранее, но второй член с дает вклад

который, если его подставить в (10.10.1), приводит к

Поэтому, если определить корреляционную длину как расстояние по быстроте, на котором корреляция падает в раз по сравнению со своим максимальным значением, то теория Редже предсказывает

Оказывается, что это довольно хорошо выполняется во многих процессах. В качестве примера приведем рис. 10.31, на котором показано, что максимальные значения корреляции достигаются в областях, где Число является довольно важным, так как оно дает ширину областей фрагментации в пространстве быстрот и указывает, что необходимо иметь (как на ускорителе для того чтобы можно было бы хорошо разделить центральную область и области фрагментации.

Это предсказание существенно зависит от факта, что каждый реджевский полюсный вклад является факторизованным, и, таким образом, корреляции возникают только вследствие нефактор изованности суммы реджевских полюсных вкладов. Однако вклады от реджевских разрезов будут, вообще говоря, не факторизованными и поэтому, например, -разрезы должны приводить к корреляциям с бесконечной корреляционной длиной. Явное отсутствие очень сильных далеких корреляций должно означать, что померонная сингулярность

Рис. 10.31. Контуры, отвечающие постоянным значениям корреляций в плоскости для пар заряженных частиц (в основном пионов), рожденных в рр-столкновениях при энергиях встречных пучков (Рисунок взят из работы Залевски [417]

по крайней мере приближенно факторизуется; этот вывод служит сильной поддержкой точки зрения, утверждающей, что при существующих энергиях померонную сингулярность можно аппроксимировать полюсом. Однако в следующей главе мы увидим, что существуют некоторые эффекты, связанные с далекими корреляциями.