ПРИЛОЖЕНИЕ А. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Представлением функций орбитального углового момента [355, 158, 345] являются сферические гармоники
где 
- присоединенные функции Лежандра. Их свойства обсуждаются с большими подробностями в книге Бейтмена и Эрдейи «Высшие трансцендентные функции», 
на которую далее мы будем часто ссылаться с указанием номера страницы [161].
Задачи рассеяния бесспиновых частиц симметричны относительно направления падающего пучка, которое обычно выбирается в качестве оси 
Вследствие этого устраняется зависимость от угла 
и поэтому достаточно рассмотреть в дальнейшем только
Эти функции Лежандра являются собственными функциями оператора квадрата углового момента 
т. е.
и, например в координатном представлении,
Это уравнение называется уравнением Лежандра [161, с. 125]. В случае, когда I — целое число, функции Лежандра являются полиномами по 
регулярными на всей конечной плоскости 
Выпишем несколько первых полиномов:
Уравнение 
имеет решения и в случае, когда I не является целым числом. Это решение (161, с. 149] может быть представлено с помощью гипергеометрической функции
и сингулярно в точках 
Эти решения называются функциями Лежандра первого рода;
Кроме этих решений уравнения 
имеются другие, которые сингулярны в точках 
называемые функциями Лежандра второго рода 
:
в случае целых значений I несколько первых функций имеет вид [161 с. 152- —153]:
Эти функции удовлетворяют inter alia следующим условиям, которые нам понадобятся в этой книге;
Соотношение отражения [161, с. 141] дает
Поскольку уравнение 
инвариантно при замене 
, то [161, с. 140]
Кроме того, для действительных I [161, с. 145]:
В случае целых I два типа решений связаны друг с другом соотношением Неймана 
].
которое является как бы «дисперсионным соотношением» для функции 
Это с очевидностью следует из того факта [161, с. 145], что
Для случая нецелых I
Соотношение отражения для функций второго типа формулируется следующим образом [161, с. 141]:
Другими полезными результатами являются следующие [161, с. 140]:
и
Для полиномов Лежандра имеется соотношение ортогональности [161, С; 171]
и некоторые другие интегральные соотношения [161, с. 171]:
Асимптотическое поведение при 
и фиксированном I можно получить, если переписать 
как 
И так как 
когда 
то мы получаем [161, с. 165]
Аналогичным образом получаем из 
Асимптотическое поведение при 
и фиксированном 
является намного более сложным [161, с. 142, 163; [318]):
где
итак,
Кроме того,
где 
видно, что 
является целой функцией тогда как из 
следует, что функция 
мероморфная, так как она имеет полюса при отрицательных целых значениях I вследствие того, что в числителе стоит 
-функция и из 
следует
