ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ФУНКЦИИ ВРАЩЕНИЯ

Состояние с угловым моментом и с проекцией углового момента на ось z, равной при произвольном вращении, характеризуемом углами Эйлера преобразуется по следующей формуле (см. книгу Эдмондса [158, с. 54]):

причем оператор вращения имеет вид

т. е. сначала происходит поворот на угол вокруг оси z, затем — поворот на угол вокруг у и снова поворот вокруг оси z, но на угол а.

Так как собственное значение оператора равно то матричные элементы оператора могут быть записаны в виде

причем матрицы вращения можно определить как

Эти матричные элементы легко определить в случае, когда Для этого нужно вместо подставить матрицу Паули и разложить экспоненту в ряд ниже Для того чтобы получить выражения для более высоких моментов У, можно воспользоваться рядом Клебша — Гордона (см. например, книгу Вигнера [412, с. 167] Найдено, что ]

Если плоскость рассеяния является плоскостью то угол соответствует углу рассеяния 6, который, в свою очередь, равен углу между направлениями движения в начальном и конечном состояниях. В связи с этим значительно более удобно писать матрицы рассеяния как функции а не самого угла . Кроме того, двухчастичные спиральные соотояния соответствуют разностям спиральностей определенным в (4.4.15); Итак, будем обычно заменять выражение на исходя из изложенного выше.

функции, определенные в удовлетворяют следующим соотношениям имметрии:

Выражение можно переписать в терминах полиномов Якоби

но это представление справедливо только для неотрицательных значений В других случаях можно воспользоваться соотношениями симметрии и окончательное выражение будет иметь вид

где

и так называемый «фактор половинных углов» определяется как

Выражение очень удобное представление функций потому что в случае целых функции Якоби — целые функции переменной z, и поэтому единственно возможными сингулярностями функций являются сингулярности фактора половинных углов при

Однако, так как в дальнейшем придется делать аналитическое продолжение по У, очень полезно выразить в терминах гипергеометрической функции (см. [21])

Гипергеометрическая функция является целой функцией по и поэтому единственным источником сингулярностей служит выражение в квадратных скобках, в котором содержатся факториальные функции, имеющие сингулярности при целых отрицательных значениях своих аргументов.

Так как известно асимптотическое поведение гипергеометрической функции, то можно легко найти, что

и так как из следует, что то

для — не равных целому числу и меньших исчезает для физических равных целому (полуцелому) числу, т. е. для четного (нечетного) числа фермионов].

Эти функции также удовлетворяют соотношениям ортогональности

Выпишем несколько функций при частных значениях параметров, которые нам окажутся полезными далее. При целых значениях

и при нецелых

Мы также будем использовать функции вращения второго рода аналогичные функциям Лежандра второго рода введенным в Приложении А (см. [21]). Они определяются с помощью функций Якоби второго рода и имеют вид

При целых эти функции связаны с с помощью обобщенного соотношения Неймана

и обладают следующими свойствами симметрии:

Определение может быть переписано в терминах гипергеометрической функции как

Эта форма записи позволяет сразу увидеть сингулярности в плоскости так как при асимптотическое поведение этих функций

и

где и мы использовали для

Для полуцелых значений эти функции подчиняются следующему соотношению симметрии:

Кроме того, аналогично имеется связь

и можно найти

для к целому при условии, что Подобные полюса или факторы возникают при к целому и при условии, если — Все это может быть получено из рассмотрения [21].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)