2.9. Преобразование Мандельстама-Зоммерфельда-Ватсона

В представлении Зоммерфельда-Ватсона (2.7.8) мы выбирали контур интегрирования для «фонового интеграла» вдоль линии Такой выбор был связан с тем обстоятельством [(см. , (А.26)], что вдоль этой линии функции быстрее убывают для Однако эта линия отнюдь не

является естественной границей аналитического продолжения, и в 1962 г. Мандельстам [295] показал, как пройти за ней налево. Мы начнем с того, что перепишем (2.7.7) в виде

Теперь сделаем преобразование Зоммерфельда-Ватсона двух членов в фигурных скобках в (2.9.1). Тогда первый член дает формулу (2.7.5), а второй включает в подынтегральное выражение следовательно, оно имеет полюса при полуцелых значениях

Рис. 2.10. Контур интегрирования в формуле (2.9.2) с точно такими же сингулярностями внутри, как на рис, 2.8, плюс дополнительные полюса при отрицательных полуцелых значениях I

Затем с помощью эти два интеграла можно скомбинировать так, что, когда мы развернем контур, как в (2.7.6), то получим следующее

Контур фонового интеграла должен проходить при чтобы не встретиться с полюсом, отвечающим при (рис. 2.10). Если сместить этот контур в мы захватим вклады от полюсов в точках где ближайшее полуцелое число, большее и получим

Если теперь заменить индекс суммирования V в первой сумме на то эта сумма будет иметь вид

и она сократится с первыми членами в последней сумме в (2.9.3) при условии

Эта симметрия парциальных волн относительно. точки так называемая симметрия Мандельстама, следует из рассмотрения представления Грибова — Фруассара и соответствующей симметрии функций (без учета, конечно, того факта, что представление не сходится без вычитаний). Как мы увидим в следующей главе, эта симметрия справедлива в потенциальном рассеянии и поэтому кажется разумным предположить, что она будет существовать и в сильных взаимодействиях. Итак, окончательное выражение имеет следующий вид:

Так как из следует, что то члены, отвечающие полюсам Редже и разрезам [приведенные явно в формуле (2.9.2)], по-прежнему имеют асимптотическое поведение тогда как первый и последний члены причем может быть сделано сколь угодно большим. Конечно, при таком перемещении контура мы можем захватывать все больше и больше полюсов и разрезов и фоновый интеграл при фиксированном может даже увеличиться.

Легко понять, что полюс в реджевском полюсном члене в выражении (2.9.2) содержится в функции которая имеет полюса в точках, когда а равняется неотрицательному целому числу [см. Очевидно, что полюса выражения при положительных полуцелых значениях а сокращаются с нулями функции которая содержит фактор [см. в то время как симметрия (2.9.5) обеспечивает то, что вычеты этих полюсов исчезают при отрицательных полуцедах числах.