1.14. Эйкональное разложение

Полезным приближенным методом, который мы будем использовать в гл. 8, является так называемое эйкональное разложение амплитуды. Оно может быть легко выведено в случае потенциального рассеяния, где оно справедливо при энергиях много больших, чем потенциал взаимодействия, т. е. при или в выражении (1.13.3) (см. [192, 254]).

В этом случае мы ожидаем, что рассеяние назад будет невелико и поэтому можем записать решение уравнения (1.13.3) в виде

где изменение падающей волны, вызванное потенциалом.

После подстановки (1.14.1) в (1.13.6) уравнение для принимает вид

где введен вектор а и -полярные углы вектора по отношению к направлению

При высоких энергиях можно предположить, что область, в которой произведение меняется сушественно, много больше длины волны так что интегрирование по можно выполнить по частям и, пренебрегая вторым членом, получить

Рис. 1.15. Плоская волна, падающая на потенциал: двумерный вектор в плоскости прицельного параметра, перпендикулярной

Член с очень быстро осциллирует и поэтому дает малый вклад в интеграл по Пренебрегая им, получаем, что интеграл отличен от нуля только тогда, когда параллелен к, т. е. направлен вдоль оси z, и поэтому (так как выражение (1.14.3) принимает вид

решение которого есть

Поэтому если мы разложим (рис. 1.15)

где двумерный вектор, перпендикулярный единичному вектору к, то получим

что при подстановке в (1.13.10) дает

Для рассеяния на малые углы к О и в этом приближении интегрирование по производится от функции, являющейся полным дифференциалом. Это так, потому что

И поэтому получаем

Здесь введена эйкональная функция, определенная следующим образом:

Для сферически-симметричных потенциалов можно выполнить в (1.14.8) интегрирование по углам, имея в виду, что

и из

где функция Бесселя нулевого порядка. В результате получаем

Если разложить экспоненту по степеням то получим эйкональный ряд

Эйкональная функция (1.14.9) может быть выражена как двумерный фурье-образ от борновского приближения (1.13.12), т. е.

Обращая (1.14.13) и используя [292]

получаем

которая является первым членом в ряду (1.14.12).

Таким образом, первый член в эйкональном ряду совпадает с первым членом в борновском ряду при высоких энергиях (1.13.26). Соотношение между членами высших порядков в этих двух рядах более сложно (см. [254]), так как для действительных потенциалов эйкональный ряд содержит попеременно действительные и мнимые члены, в то время как в общем случае все члены борцовского ряда комплексны. В пределе же больших и фиксированных К эти два ряда совпадают. Поэтому эйкональный ряд можно рассматривать как приближение к сумме лестничных диаграмм (см. рис. 1.14), где каждое последовательное перерассеяние происходит только на малый угол. В дальнейшем мы увидим, что это очень полезное приближение (см. разд. 8.4).