1.3. Блочные диаграммы и амплитуды рассеяния

Суммирование по различным типам частиц и их спиральности в (1.2.16) без особой необходимости усложняет обозначения этого уравнения. До конца этой главы мы будем иметь дело только с импульсными и пространственными свойствами -матрицы, так что мы опустим индексы и запишем уравнения так, как будто сушествует только один тип частицы с нулевым спином. Тогда -частичное состояние может быть записано просто как Каждое интегрирование по импульсу должно, таким образом, рассматриваться вместе с суммированием по всем различным типам частиц, которые могут давать вклад, с учетом ограничений, налагаемых сохранением квантовых чисел, и с суммированием по всем возможным значениям спиральности частицы со спином

Обозначим каждый элемент -матрицы, представляюший некоторый процесс рассеяния блоком с линиями, соответствуюшими входящим и выходящим частицам, а именно

и

Промежуточные состояния, появляющиеся в условии унитарности (1.2.16), обозначим следующим образом:

Черточки на концах означают, что такие линии должны быть прикреплены к блокам. Скалярное произведение векторов состояний (1.2.11) записывается в виде

Известно, что вследствие лоренц-инвариантности (постулат III) в процессе рассеяния сохраняется энергия и импульс и, следовательно, элемент -матрицы (1.3.1) обращается в нуль везде, за исключением случая

Это означает, например, что в сумму (1.2.16) дают вклад только промежуточные состояния с Равенство здесь выполняется, когда энергия процесса равна пороговой.

Итак, предположим, что дано (а это и есть тот случай, который осуществляется в действительности) двухчастичное начальное состояние, и допустим для простоты., что все адроны имеют одну и ту же массу (Это, разумеется, должно означать, что все они стабильны, так как не существует состояний с меньшей массой, на которые они могли бы распасться.) Тогда при т. е. выше двухчастичного порога, но ниже порога образования трех частиц, в условие унитарности могут давать вклад только двухчастичные промежуточные и конечные состояния. Условие унитарности (1.2.16) принимает вид

что пр приведенным выше правилам может быть переписано как

Однако, когда энергия начального состояния возрастает так, что

в начальном состоянии оказываются возможными (в принципе) двух- и трехчастичные состояния и те же состояния возможны (и это осуществляется на опыте) в промежуточном и конечном состояниях; при этом (1.2.16) дает ряд условий унитарности:

Обобщение на более высокие энергии, когда может давать вклад еще большее число частиц, очевидно.

Дальнейшее преобразование этих уравнений оказывается возможным благодаря конечному радиусу сильных взаимодействий (постулат II). Например, элемент -матрицы с двумя частицами в начальном и конечном состояниях может быть разложен следующим образом:

Первый член здесь существен, когда две частицы никогда не подходят достаточно близко, чтобы провзаимодействовать, а второй, так называемая связная часть, представляет взаимодействие двух частиц. (Знак использован для обозначений связанной части -матрицы по причинам, которые будут выяснены далее). Эти члены сильно отличаются друг от друга, потому что в первом члене каждая частица в конечном состоянии имеет ту же энергию и импульс, которые она имела в начальном состоянии, в то время как во втором члене только полная энергия и полный импульс двух частиц должны сохраняться.

Подставляя -функции из (1.2.11) и выделяя закон сохранения 4-импульса из в явном виде, получаем из (1.3.9):

Множитель включен, чтобы получить нужную нормировку -матрицы или «амплитуды рассеяния», обозначенной С другой стороны, элемент -матрицы 2 3 существует только тогда когда две частицы действительно рассеиваются, так что

Если существует больше внешних линий, то может быть больше несвязных частей, например

Для соответственно

где

Здесь опять знак минус имеет условный смысл.

Это свойство несвязности позволяет провести дальнейшее упрощение условий унитарности. Так, после подстановки (1.3.9) и (1.3.13) равенство (1.3.7) принимает вид

что после перемножения и сокращения одинаковых членов дает двух частичное условие унитарности

Аналогичным образом выше трехчастичного порога первое уравнение из (1.3.8) дает

Разумеется, в таких уравнениях -функции сохранения полной энергии и импульса одинаковы в каждом члене и могут быть сокращены вместе с различными множителями типа . (наши обозначения были выбраны с целью помочь этому), и в результате мы приходим к следующему упрощенному набору правил для диаграмм: для каждого связного блока

для каждой внутренней линии

для каждой замкнутой петли

где -импульс интегрирования [с учетом сохранения импульса в каждой вершине — см. (1.3.16)]. Так, например, выражение (1.3.16) принимает вид

Как будет видно, эти условия унитарности сильно ограничивают вид амплитуды рассеяния.