1.4. Аналитические свойства амплитуды рассеяния

До сих пор мы рассматривали амплитуды рассеяния как произвольные функции 4-импульсов входящих частиц. Однако лоренц-инвариантность предполагает, что А должна быть скаляром относительно группы Лоренца и, следовательно, может быть записана как функция только лоренцевых скаляров. До тех пор пока мы пренебрегаем спинами, это означает, что А — функция только скалярных произведений импульсов.

Так, амплитуда А процесса будет функцией только лоренцевых скаляров, таких, как (Напомним, что не являются переменными.) Однако не все скалярные произведения независимые величины, поскольку, например, вследствие сохранения 4-импульса. В общем случае для процесса с линиями существуют переменных (компонент 4-векторов), однако уравнений массовой поверхности в виде ограничения вследствие сохранения полной энергии и импульса и 6 условий из-за вращательной инвариантности в четырехмерном пространстве Минковского оставляют независимых переменных. Так, если мы рассмотрим одночастичный пропагатор как «амплитуду рассеяния» так что имеется — 4 степени свободы, т. е. 4 условия . Для процесса рассеяния таким образом имеются две независимых переменных, в то время как процесс зависит от 5 переменных и т. д. Мы назовем эти переменные лоренц-инвариантами

Но как А зависит от этих инвариантов? Ответ на этот вопрос дает следующий постулат теории -матрицы.

Постулат V. Максимальная аналитичность первого рода

Амплитуды рассеяния являются граничными значениями аналитических функций инвариантов рассматриваемых как комплексные переменные с теми и только теми сингулярностями, которые требуются условиями унитарности.

Таким образом, хотя обычно только действительные значения имеют физический смысл, мы собираемся рассматривать их как комплексные переменные. Предположим, что амплитуды являются аналитическими функциями так что мы можем получить физическую амплитуду рассеяния, переходя к пределу действительное значение.

Из последующего рассмотрения можно легко понять, почему следует ожидать таких аналитических свойств амплитуд. Рассмотрим рассеяние волнового пакета, распространяющегося вначале вдоль оси со скоростью :

где — энергия Возьмем фурье-образ

Для того чтобы иметь физический смысл, этот интеграл должен сходиться для действительных но он определяет при всех комплексных значениях Если волновой пакет не достигает точки до тех пор, пока то для так что

Это означает, что является аналитической функцией не имеющей особенностей в верхней полуплоскости (т. е. при так как в этой области интеграл (1.4.3) должен наверняка сходиться (интеграл существует для действительных и при он еще лучше сходится из-за фактора Подобным образом для рассеянной волны имеем:

где, по определению, амплитуда рассеяния при данной энергии (см., например, [355]). Если процесс рассеяния обладает свойством причинности, то рассеянная волна не может уйти на расстояние от центра рассеяния раньше чем за время так что

откуда для фурье-образа (1.4.4), повторяя аргументы получаем, что также является аналитической функцией в верхней полуплоскости.

Трудность подобной аргументации заключается, разумеется, в предположении, что точное описание распространения волнового пакета во времени имеет смысл. Но, поскольку мы предположили, что знаем точно и его энергию, не ясно, насколько имеет смысл такая концепция микропричинности. Очевидно, что ни одно квантовомеханическое измерение не может, даже в принципе, выяснить, каким должно быть временное описание волнового пакета. Однако ниже будет видно, что, по-видимому, требование микропричинности существенно только в классическом пределе.

Были предприняты попытки вывести свойства аналитичности (и положение сингулярностей) амплитуды рассеяния из аксиоматической теории поля (см., например, [197]) и аксиоматической теории -матрицы (см. [157]), но при этом возникает много трудностей с обходом различных особенностей. Ситуация более или менее ясна только для особенностей в физической области [56]. Если амплитуда рассеяния может быть записана как ряд теории возмущений (сумм диаграмм Фейнмана), то могут быть найдены аналитические свойства отдельных членов ряда (по крайней мере в низших порядках), но, разумеется, в случае сильного взаимодействия мы имеем дело с расходящимся рядом теории возмущений. Однако, поскольку ожидается, что теория 5-матрицы и теория возмущений обладают одинаковой структурой особенностей, то часто бывает удобно использовать модели фейнмановских диаграмм (см. разд. 1.12). Здесь же мы просто предположим, что структура сингулярностей, которая может быть выведена из постулатов теории -матрицы, справедлива в действительности.