2.2. Парциальные амплитуды

В этой главе будем рассматривать только процессы рассеяния 2 —2, когда две частицы сталкиваются и переходят снова в две частицы. Ограничимся бесспиновым случаем, и поэтому полный угловой момент начального состояния совпадает с относительным орбитальным угловым моментом сталкивающихся частиц. Так как угловой момент — сохраняющаяся величина, то орбитальный угловой момент конечного состояния должен быть таким же, как и начального состояния. Часто удобно рассматривать амплитуду рассеяния для каждого состояния с определенным угловым моментом отдельно. Такую амплитуду будем далее называть парциальной амплитудой рассеяния. Однако обычно начальное состояние не является собственным состоянием оператора углового момента, а представляет собой суперпозицию состояний с различными угловыми моментами, и поэтому

полная амплитуда рассеяния дается суммой различных парциальных амплитуд.

Известно, что для бесспиновых частиц угловая часть волновой функции, описывающей состояние с заданным орбитальным угловым моментом I в s-канале, дается функцией Лежандра первого рода [см. (А.3)]. В системе центра масс реакции, которую мы в дальнейшем будем использовать, дается выражением (1.7.17). Поэтому при фиксированном квадрате выходной энергии s угол рассеяния определяется только величиной [или и с помощью (1.7.21)] и, следовательно,

Таким образом, в системе центра масс парциальная амплитуда рассеяния с данным угловым моментом I в s-канале определяется через полную амплитуду рассеяния следующим образом:

В определение (2.2.1) для удобства введен множитель он позволит упростить вид условия унитарности (см. ниже). Если использовать соотношение ортогональности то можно обратить (2.2.1):

Выражение (2.2.2) называется «разложением по парциальным волнам» полной амплитуды

Выражение (2.2.2) имеет одно очень важное достоинство: при малых можно ожидать, что только несколько парциальных волн дают вклад в разложение (2.2.2). Это можно пояснить следующим образом. Если предположить, что частица движется классически и имеет угловой момент импульс частицы, — радиус действия сил), то она должна пролететь мимо мишени и, следовательно, не должна испытать рассеяния. Таким образом, если сильные взаимодействия, грубо говоря, характеризуются радиусом действия сил порядка то для того чтобы только -волновая амплитуда давала вклад в правую часть (2.2.2), необходимо, чтобы для 5- и -волновых амплитуд

Другим достоинством разложения (2.2.2) является то, что каждая парциальная волна удовлетворяет своему собственному условию унитарности, которое никак не связано с условиями унитарности для других парциальных волн. Это можно легко вывести, если подставить разложение (2.2.2) в двухчастичное условие унитарности (1.5.7)

где косинус угла между направлениями движения частиц в начальном состоянии и променсуточном состоянии косинус угла соответственно для промежуточного и конечного состояний, и наконец, Теорема сложения косинусов дает

где угол между плоскостями рассеяния реакций Теорема сложения для функций Лежандра [см. т. 1 с. 168 [161]) приводит к

где присоединенная функция Лежандра первого рода. Условие ортогональности (см. [161], т. 1, с. 171) дает

и в результате (2.2.3) переходит в

Таким образом, в условие унитарности включаются только состояния с угловым моментом Отметим, что множитель отсутствует из-за соответствующего определения парциальных амплитуд в (2.2.1).

Рис. 2.1. а — Двухчастичное промежуточное состояние в реакции Угол рассеяния в реакции в системе центра масс реакции, в — углы рассеяния Угол азимутальный угол, задающий направление вектора и равный углу между плоскостями и

В случае упругого рассеяния, когда в начальном, промежуточном и конечном состояниях находятся одни и те же частицы, выражение (2.2.7), если вспомнить (1.10.3), переходит в

где

является фазовым фактором парциальной волны для состояния Так как при всех то из (2.2.8) следует, что Очевидно, что решение (2.2.8) следует искать в виде

Это выражение служит определением фазы которая является действительной функцией. Амплитуда рассеяния вплоть до неупругого порога полностью характеризуется этой функцией. Фазы можно найти прямо из экспериментальных данных, анализируя угловое распределение по меньшей мере для низших парциальных волн при малых Однако Настоящий фазовый анализ сильно затрудняется наличием у частиц спина (см. гл. 4), а также неупругосгью и представляет собой довольно трудную задачу.

В общем случае, когда имеется много открытых каналов, выражение (2.2.7) переходит в

причем

Учет неупругих каналов может быть произведен и прямо в (2.2.10), если разрешить фазам быть комплексными, Тогда

причем имеет смысл фактора неупругости, Ясно, что в случае упругого рассеяния

В случае, когда в некоторой парциальной волне имеется резонанс при (см., например, [55, с. 398]), то

Тогда, если мы положим при и подставим в (2.2.10), то получим выражение

Эта формула, часто используемая в ядерной физике, представляет собой выражение для упругого брейт-вигнеровского резонанса с массой и шириной В случае потенциального рассеяния условие очень похоже на условие образования

связанного состояния с единственной поправкой на то, что резонанс возникает при положительной энергии и поэтому может распадаться (см., например, [355, с. 128]). Таким образом, можно рассматривать резонансы как нестабильные составные частицы, которые похожи на связанные состояния. В том случае, когда имеется неупругость, резонанс может распадаться в один из нескольких возможных каналов В этой ситуации амплитуда распада будет иметь следующий вид:

парциальная ширина распада в данный канал , а - полная ширина распада. Стоит отметить важный в дальнейшем факт, что вычеты в полюсе амплитуды (2.2.15) факторизуются. С помощью анализа парциальных волн было открыто много подобных резонансов (см., например, [332]).

Так как для всех то можно сформулировать оптическую теорему (1.9.5) используя (2.2.2), на языке парциальных амплитуд

Если подставить (2.2.2) в (1.8.13) и с помощью совершить интегрирование по угловым переменным, - то для сечения упругого рассеяния получается

С помощью подстановки (2.2.8) в (2.2.16) можно убедиться, что ниже неупругого порога как и должно быть.

Совершенно очевидно, что можно сделать полностью аналогичное разложение по парциальным волнам в -канале, определяя парциальные волны как

Обратив это выражение, получим, что разложение по парциальным волнам имеет вид

В следующем разделе мы рассмотрим связь между (2.2.19) и рассеянием в s-канале, которое связано с рассеянием в -канале соотношением кроссинга.