7.2. Правила сумм при конечной энергии

Правила сумм при конечной энергии очень похожи на СПС, сформулированные в разд. 4.8, но применяются они, когда амплитуда сходится на бесконечности. Несмотря на все это, все же необходимо чтобы асимптотическое поведение было известно. Для простоты будем предполахать, что асимптотическое поведение напоминает реджевское полюсное поведение. Таким образом из (6.8.1) следует

где сумма берется по всем лидирующим реджевским полюсам, скажем, по тем, для которых

Все различные факторы, связанные с вычетами, собраны в функциях кроме того, введено обозначение

Итак, асимптотически

Ожидается, что амплитуда рассеяния подчиняется дисперсионным соотношениям при фиксированном (4. 5.1) и, следовательно,

где положение s-канального порога, выраженное через V [где 2 определено в (1.7.18)], а интегралы сходятся. Как следствие гипотезы (7.2.2), все лидирующие члены в асимптотическом поведении А содержатся в и поэтому самое большее, что может быть

Таким образом, если рассмотреть предел то в правой части (7.2.5) коэффициент при члене должен обратиться в нуль:

Очевидно, что среди всей последовательности полюсов имеется подпоследовательность полюсов обладающих сигнатурой

которые будут давать вклад в (7.2.7).

Так как асимптотическое поведение обусловлено полюсами, то подынтегральное выражение становится пренебрежимо малым при при достаточно большом и тогда

Интеграл в правой части довольно легко берется и дает ПСКЗ:

В случае очевидно, что пороговым членом в правой части можно пренебречь, если, конечно,

Имеется другой способ вывода (7.2.10) (его обобщения будут изложены ниже), который более элегантен, но, возможно, менее поучителен. Он заключается в том, чтобы, используя теорему Коши, написать

где С — контур интегрирования, причем он не захватывает пороговые точки ветвления, как это показано на рис. 7.3. Растягивая контур так, чтобы он охватывал разрезы, идущие от точек ветвления, получаем

где контур С — круг с радиусом, равным Положив заменяя на из (7.2.1) и проследив надлежащим образом за скачками реджевских членов на разрезах, получим (7.2.10) без порогового члена.

Рис. 7.3. Контуры интегрирования в комплексной плоскости в формулах (7.2.11) и (7.2.12)

Таким образом, ПСКЭ (7.2.10) приводит к связи между средним (т. е. нулевым моментом) от мнимой части амплитуды рассеяния при низких энергиях и асимптотическим поведением реджевского полюса при высоких энергиях; эта связь получается как следствие предложенной нами аналитичности амплитуды и доминирования реджевского полюсного вклада при Совершенно очевидно, что все это будет полезно для понимания дуальности.

Можно сделать несколько обобщений (7.2.10). С одной стороны, вместо (7.2.5) можно написать дисперсионное соотношение для

и до тех пор пока коэффициент при члене должен обра щаться в нуль, давая

т. e. получается ПСКЭ при четных моментах. С другой стороны, если рассмотреть нечетное степени то только полюса с сигнатурой, противоположной той, которая была в (7.2.8), т. е.

дают вклады, приводя к ПСКЭ при нечетных моментах:

(знак + в левой части появляется как следствие того, что рассматриваются нечетные степени интегралы включают только мнимую часть амплитуды рассеяния, но можно включить как действительную, так и мнимую части, если написать дисперсионные соотношения для [286]

где произвольный параметр. Тогда получаем

которое приводится, например, к выражению (7.2.14) (без члена, содержащего при четном Эти соотношения называются правилами сумм с непрерывными моментами (ПСНМ). Но так как информация о действительных частях амплитуд встречается редко, за исключением тех случаев, когда она извлекается из дисперсионных соотношений, которые как раз и использовались при выводе (7.2.18), то ПСНМ только изредка оказываются полезными.

Интересно написать ПСКЭ для амплитуд с определенной сигнатурой, для которых имеются дисперсионные соотношения при фиксированном подобные (2.5.7):

Если проделать процедуру, которую проводили раньше, то получаем:

где или в зависимости от [см. (7.2.8), (7.2.15)]. Эти ПСКЭ совпадают с (7.2.14) или (7.2.16) только при чередующихся моментах. Но возможно, что «неправильные» моменты [т. е. когда — четное при или нечетное при будут некорректными, потому что мы пренебрегли тем, что амплитуды с определенной сигнатурой содержат фиксированные полюса в нефизических точках чужой сигнатуры (см. разд. 4.8), которые также должны быть включены в правую часть (7.2.20). Итак, для неправильных моментов мы должны добавить к правой части (7.2.20)

где положения нефизических фиксированных полюсов чужой сигнатуры, т. е. или для -Однако, когда вычеты фиксированных полюсов малы, выражение (7.2.20) приближенно справедливо при всех моментах.

В следующем разделе будут обсуждаться некоторые феноменологические применения а сейчас наша основная цель — изучение свойств следующих из дуальности. Если мнимую часть амплитуды рассеяния при низких энергиях можно представить как сумму резонансных полюсных вкладов то выражение (7.2.10) становится следующим:

Это дает определенное значение для (7.1.5), так что интеграл от мнимой части по резонансным вкладам в амплитуду рассеяния равняется интегралу от реджевских полюсных вкладов (см. рис. 7.1). Заметим, однако, что для получения (7.2.22) уже было сделано предположение о дуальности, потому что сумма по конечному числу резонансов приводит к поведению а с другой стороны, мы предполагали в (7.2.2), что реджевские полюса включают все лидирующие члены в асимптотическом поведении вплоть до Таким образом, (7.2.22) ни в каком смысле не может служить доказательством дуальности, а всего навсего дает более конкретное, чем (7.1.5), математическое выражение.

Правила сумм для более высоких моментов требуют выполнения локальной дуальности и, таким образом, менее вероятно, что они

выполняются при низких энергиях. Если бы все моменты были одинаковыми, то, конечно. А должно было бы тождественно равняться а совершенно ясно, что это невозможно, так как первое из них содержит полюса по а второе не содержит.

Ограничения, которые накладьшаются на амплитуду вследствие (7.2.22), если их объединить с требованиями кроссинга, весьма значительны. Например, если рассмотреть -рассеяние [211] (см. также работу Коллинза и Мира [130]), при условии то доминирующим обменом с нечетной сигнатурой будет -траектория (см. разд. 3.5). Кроме того, полюса, отвечающие -мезону, со спином, равным единице, будут также играть главную роль среди и -канальных резонансов. Таким образом [см. (2.6.13)],

если использовать единицы, в которых Возьмем вычет в виде

где приведенный вычет, т. е. выражение после явного выделения порогового поведения (6.2.9), нефизического множителя при и нулей, являющихся следствием симметрии Мандельстама (2.9.5). Это приводит к

Таким же образом можно получить выражение для Аналогично -траектория в -канале будет давать, если использовать (6.8.1),

Подставляя (7.2.25) и (7.2.26) в (7.2.22) [вспоминая при этом, что рассматривается амплитуда для бесспиновых частиц, т. е. причем таким образом, левая часть должна включать кроссинговый матричный элемент 1/2 из табл. 6.3., который сокращается с фактором 2, появляющимся от сложения получаем

Если теперь положить то приведенные вычеты у сокращаются, а а и В результате

Если теперь обрезать примерно посередине между и следующим s-канальным резонансом та например, при то получится

что находится в довольно хорошем согласии с (5.3.1). Если взять правило сумм для момента и не учитывать возможность появления фиксированных полюсов, то получится

Это выражение при характеризуется довольно слабой зависимостью а от при малых таким образом, все небольшие моменты довольно хорошо согласуются.

Уравнение (7.2.27), которое является условием согласованности ПСКЭ для р-траектории, иногда называется «ПСКЭ-бутстрапом». Это совершенно отличается от собственно бутстрапа] типа того, который обсуждался в разд. 3.5 (и будет обсуждаться ниже в разд. 11.7), потому что не делается никаких попыток наложить условие унитарности и, следовательно, наложить ограничения на приведенный вычет Кроме того, перед тем как зафиксировать необходимо знать спектр частиц, поэтому траектория не определяется однозначно. Чтобы получить оценки, брали правило сумм при но совершенно очевидно, что -зависимость обеих частей (7.2.27) совершенно различна. Тем не менее для того, как перейти к рассмотрению более полных дуальных моделей (см. разд. 7.4), хорошо бы на деле показать, что эти условия согласованности применяются довольно широко (см., например, Адемолло и др. [131, Иги и Мацуда 12421). Их обобщение на группу будет обсуждаться ниже.