2.4. Ограничение Фруассара

Фруассар показал [178], что если для амплитуды справедливо представление Мандельстама, то требование s-канальной унитарности накладывает ограничение на асимптотическое поведение амплитуды рассеяния в физической области s-канала и, следовательно, ограничивает число необходимых вычитаний. Это ограничение может быть получено следующим образом. Известно, что [см. ]

поэтому представление Грибова-Фруассара (2.3.4) для s-канальных парциальных волн дает

где отвечает ближайшей сингулярности по амплитуды (это может быть порог или полюс, отвечающий связанному состоянию); некоторая функция Это означает, что все парциальные волны с

будут очень малыми. В самом деле, мы можем определить радиус действия сил (см. разд. 2.2) из условия

и тогда частицы, падающие на мишень с прицельными параметрами будут пролетать мимо мишени, т. е., говоря более точно, они будут рассеиваться значительно более слабо, чем частицы с Таким образом, для нуклон-нуклонного рассеяния, в котором ближайшей сингулярностью по является пионный полюс, радиус действия сил равен [ср. (1.7.22) при

и, следовательно, эффективный размер нуклона равен комптоновской длине волны пиона, как это и ожидалось из соотношения неопределенности.

Следовательно, из (2.4.2) получается, что

так как и поэтому при больших s мы можем ожидать существенное рассеяние для парциальных волн с

где с — некоторая константа. Таким образом, бесконечную сумму в (2.2.2) можно оборвать и написать вместо нее следующее:

Используя ограничение (2.2.12) и свойство, что для мы имеем (после суммирования арифметической прогрессии)

Вспоминая оптическую теорему (1.9.5), получаем

Это ограничение и называется ограничением Фруассара. Более строго в рамках квантовой теории поля оно было доказано Мартеном [302, 303].

Ограничение (2.4.9) также приводит к важному следствию, что при фиксированном и поэтому (см. конец предыдущего раздела), т. е. представление Грибова-Фруассара (2.3.4) определено при всех

Рис. 2.3. Эллипс Лемана-Мартена: он задает область сходимости разложения по парциальным волнам в s-канале в комплексной плоскости Эта область определяется сингулярностью, ближайшей к s-каналу и лежашей в точке

С помощью (2.4.6) можно определить более строго, чем раньше, область сходимости ряда по парциальным волнам (2.2.2). Так как мы знаем асимптотическое поведение полиномов [см. то, используя (2.4.6), можно легко получить, что ряд (2.2.2) сходится, если

Это условие соответствует точкам, лежащим внутри эллипса в комплексной плоскости с фокусами в точках и главной полуосью (рис. 2.3). В литературе этот эллипс обычно называется малым эллипсом Лемана-Мартена [281, 303].