8.4. Абсорбция и эйкональная модель

Хотя модели с диаграммами Фейнмана и реджеонное исчисление дали много информации об ожидаемых свойствах реджевских разрезов, они не дают возможности определить величину вклада разрезов по отношению к полюсам и поэтому не дают возможности определить, насколько важны разрезы в действительности.

Так, выражения (8.2.37) и (8.3.8) показывают, что амплитуда двухреджеонного разреза должна быть записана в виде

где амплитуды обмена реджевскими полюсами. Величина включена в определение вершинной функции которая должна давать все вклады в разумеется, неизвестна (см., однако, разд. 10.9). Для вычисления вклада разрезов были предложены различные модели, воспроизводящие формулу типа (8.4.1) с определенными правилами вычисления Здесь будут рассмотрены две такие модели. Хотя ни одна из них не может быть выделена, обе дают возможность включить спиновые эффекты и т. п.

8.4а. Реджезованная абсорбционная модель

Эта модель используется для описания неупругих реакций с обменом невакуумными квантовыми числами. Основная идея заключается в том, чтобы использовать реджевский полюс для переноса необходимых квантовых чисел и учесть поправки, вызванные упругим рассеянием в начальном и конечном состояниях, показанные на рис. 8.17. Поскольку упругая амплитуда в основном мнимая, учет этих поправок приводит к уменьшению вклада низших парциальных волн, что физически соответствует поглощению потока падающих частиц каналами, не участвующими в рассмотрении. Можно учесть всю упругую амплитуду рассеяния, но более привлекательно представить ее посредством обмена доминирующим полюсом Редже — помероном

Гипотеза, в частности, заключается в том, что парциальные волны в s-канале для процесса могут быть записаны в виде [2313

где разложение -канального реджеона по парциальным волнам s-канала; -элемент разложения -матрицы для упругого рассеяния по парциальным волнам в начальном (конечном) состоянии.

Рис. 8.17. Реджезованная абсорбционная модель

Так как мы будем суммировать по всем спиральностям частиц, удобно рассматривать индексы как обозначения спиральностей, а формулу (8.4.2) как матричное произведение. Запишем теперь упругую -матрицу в виде

где парциальное разложение амплитуды обмена помероном кинематический множитель (2.2.9). Подставляя (8.4.3) и аналогичное выражение для в (8.4.2) и разлагая квадратный корень в ряд, получим

Первый член отвечает обмену реджеонома второй и третий члены дают разрезы, обусловленные обменом как так и -полюсами вместе, т. е. разрезу Вся амплитуда получается суммированием ряда по парциальным волнам (4.4.9). Так, например, из первого члена в (8.4.4) получаем

Если теперь провести парциальное разложение амплитуды, отвечающей обмену полюсом (опуская для простоты индексы каналов), то получим

где косинусы углов рассеяния между начальным и промежуточным, промежуточным и конечным состояниями соответственно (см. рис. 2.1), удовлетворяющие условию (2.2.4), а именно

Но поскольку справедливо равенство [231]

[ср. с (8.2.6)], то в пределе высоких энергий (8.2.10) зависимостью от можно пренебречь. Поскольку получаем

что аналогично формуле (8.4.1) для бесспиновых частиц с Это выражение согласуется также с результатом Амати, Фубини и Стангеллини (8.2.11), за исключением того, что реджевская амплитуда там входит под знаком комплексного сопряжения. В действительности выражение (8.2.11) соответствует выбору

вместо (8.4.4). Однако, поскольку -полюс почти чисто мнимый, комплексное сопряжение приводит к изменению знака у вклада разреза. Знак, получающийся в (8.4.9) при учете абсорбции, согласуется с результатом Мандельстама (8.2.37) и с реджеонным исчислением (8.3.8) и отличается от знака результата

В этом подходе есть несколько очевидных недостатков. Во-первых, диаграмма на рис. 8.17, б планарная, а, как было показано в разд. 8.2, планарные диаграммы не приводят к разрезам. Причина, по которой мы получили похожий ответ, заключается в том, что пропагаторы в верхней и нижней частях диаграммы ведут себя как и поэтому обладают тем же самым степенным поведением, что и кресты на рис. 8.6. В действительности диаграмма на рис. 8. 17, б гораздо больше похожа на перенормировку вклада квадратной диаграммы в полюс Редже, показанный на рис. 8.1. Во-вторых, если рассматривать реджеон как лестницу, то он уже включает неупругие промежуточные вклады в s-канале, и поэтому учет абсорбции может привести к переучету. Это обстоятельство очевидным образом связано с перенормировкой. Однако в разд. 8.6 будет показано, что одним из самых больших недостатков полюсов Редже является то, что они дают слишком большой вклад в низшие парциальные волны, так что с феноменологической точки зрения действительно необходимо некоторое дополнительное поглощение. Возможно, что именно это поглощение и обусловливается разрезами. К тому же упругое промежуточное состояние

является всего лишь одним из большого числа состояний, образованных дифракционным образом посредством обмена -полюсом, и поэтому не исключено, что нужно рассматривать всю сумму диаграмм, аналогичных показанной на рис. 8.18. Довольно грубо их можно оценить, умножая выражение (8.4.9) на фактор усиления 1. Заметим, что должно не зависеть от потому что иначе менялось бы положение разреза, несмотря на то, что при увеличении s открывается все больше дифракционных каналов.

Рис. 8.18. Промежуточное состояние, образованное дифракционным образом в абсорбционной модели и соответствующее дополнительным членам в выражении

В заключение отметим, что хотя идея абсорбции и подтверждает основную формулу (8.4.1), но она не может быть использована как количественная модель для вычисления реджевских разрезов.

8.4б. Эйкональная модель

Эта модель тесным образом связана с методом эйконала для потенциального рассеяния при высокой энергии, обсуждавшемся в разд. 1.14, и дает способ вычисления высокоэнергетического предела для суммы диаграмм, аналогичных показанной на рис. 8.19, соответствующих многореджеонным обменам [23]. Вид обмена на самом деле не очень важен, и поэтому мы начнем рассмотрение с обмена скалярными частицами, а не реджеонами [см. 6, 78, 96, 284, 379].

Рис. 8.19. Последовательность диаграмм с обменом несколькими реджеонами

Типичная диаграмма с перекладинами показана на рис. 8.20. Она представляет собой обобщенную лестницу, в которой некоторые перекладины пересекаются. Правила Фейнмана дают

при высокой энергии рассеяние происходит на малые углы, так что по каждой перекладине передается очень малый импульс, поэтому отдача частиц после каждого последовательного перерассеяния невелика. В этом случае можно сделать замену

во всех пропагаторах. Ясно, что это соответствует эйкональным предположениям разд. 1.14. Теперь необходимо просуммировать по всем перестановкам перекладин, соединяющихся с частицей 2, при данном порядке -соединения с частицей 1. Симметрия подынтегральной функции позволяет с учетом приближения (8.4.12) (подробнее см. [284]) переписать сумму теории возмущений в очень простой форме.

Рис. 8.20. Лестничная диаграмма с пересекающимися перекладинами

Интегрирование монсет быть произведено переходом в х-пространство:

где фейнмановский пропагатор равен

Можно показать, что после суммирования получается

где

где

Ясно, что при рассеянии на малый угол при высокой энергии таким образом, зависит только от (т. е. ). При интегрировании по вклады дают только полюса

знаменателя, Так что, заменяя на получаем вклад от четырех членов в (8.4.16):

После интегрирования по А в плоскости (см. рис. 1.12) это выражение принимает вид

Так же как и в (1.14.10), можно выполнить интегрирование по и получить

Обратное преобразование [из (1.14.14)] имеет вид

что равно с учетом (8.4.13)

в высокоэнергетическом приближении при рассеянии на малый угол. Такм образом, выражение (8.4.15) приводит к

и после суммирования по всем возможным числам перекладин получаем

Первый член этого ряда равен выражению (8.4.21) и является борновским приближением—амплитудой одночастичного обмена. Второй член есть сумма всех графиков с обменами двумя частицами

который после подстановки выражения (8.4.20) приводит к

Но поскольку 1161, 231]

ср. (8.2.6) и (8.4.8) то

что совпадает с выражением (8.4.1), если положить и взять в качестве борновского приближения вместо амплитуды (8.4.21) амплитуду обмена реджевским полюсом. Это доказывает, что при условии справедливости приближения (8.4.12) точная форма амплитуды борновского приближения несущественна. Можно показать [378], что если заменить обмены частицами на рис. 8.20 на обмены лестницами, то лидирующими диаграммами будут те, у которых вершины на концах лестниц будут образовывать крест, как показано на рис. 8.19, в, а не планарные диаграммы, показанные на рис. что можно было ожидать, исходя из результатов разд. 8.2. Таким образом, эйкональный ряд можно рассматривать как сумму реджевских разрезов, обусловленных любым числом реджеонов с перекрещенными вершинами.

Рис. 8.21. Диаграмма, нарушающая эйкональное приближение в теории Для того чтобы пройти от начала диаграммы к ее концу, нужны только три пропагатора, а здесь их четыре с каждой стороны

Разумеется, существуют некоторые сомнения относительно применимости этих результатов к адронной физике. Во-первых, они несправедливы в теории поля с взаимодействием потому что там приближение (8.4.12) несправедливо. Например, рис. 8.21 имеет -ли-нию длиной 3 и, следовательно, ведет себя как Однако в эйкональном приближении возможность передачи больших импульсов по диаграмме запрещена, поэтому импульс должен в основном проходить по сторонам диаграммы, которые представляют собой 4 пропагатора, и в рамках приближения (8.4.12) она ведет себя как Поэтому в теории поля с взаимодействием такие диаграммы будут нарушать эйкональное приближение. Однако в гл. 6 было покаано, что на опыте переданные импульсы экспоненциально подавлены, так что в этом отношении приближенная версия теории кажется более реалистичной, чем сама теория. Были исследованы также модели с обменом элементарным векторным мезоном [99, 100]. В этом случае зависимость от s пропагаторов частиц, которыми производится обмен, гарантирует выполнение эйконального приближения без дополнительного обрезания, но при всех реджеоны

оказываются лежащими выше 1. Это обстоятельство будет обсуждаться в следующем разделе.

Рис. 8.19 представляет собой только один набор существенных графиков. В предыдущем разделе обсуждали необходимость итерировать лестницы как в так и в -канале (как показано на рис. 8.16) чтобы согласовать результат с -канальной унитарностью. Имеются также и более сложные диаграммы, аналогичные изображенной на рис. 8.22 (такие диаграммы называются «шахматной доской»), в которых обмениваемые реджеоны взаимодействуют друг с другом во время обмена, что нарушает эйкональное приближение [52, 370]. Существуют также диаграммы (примером которых может служить дифракционная диаграмма на рис. 8.18), в которых лидирующие частицы фрагментируют на составляющие и вновь рекомбинируют. Совершенно отдельно от трудностей, связанных с включением этих эффектов, существует обычное сомнение: на учтены ли уже эти диаграммы (может быть, частично) как эффекты перенормировки более простых диаграмм. Этот вопрос является основным в любой теоретико-полевой модели (обзор по этой теме см. в работе [53]).

Рис. 8.22. Пример диаграммы «шахматная доска», в которой реджеоны взаимодействуют друг с другом

Несмотря на эти ограничения, эйкональная модель обладает определенными достоинствами. Во-первых, она гарантирует выполнение ограничений, налагаемых s-канальной унитарностью (по аналогии с разд. 1.14). Во-вторых, она легко обобщается в целях включения нескольких различных типов реджеонов и различных спиральных амплитуд. И в-третьих, эта модель относительно проста при расчетах. Чтобы продемонстрировать эти преимущества, удобно начать с s-канального ряда по парциальным волнам для спиральной амплитуды упругого рассеяния (4.4.9)

При рассеянии на малые углы при высоких энергиях и для больших [154] справедливо соотношение

Классическое значение прицельного параметра (рис. 8.23) частицы, проходящей мимо мишени с угловым моментом равно

(добавка 1/2 несущественна, поскольку мы имеем дело с большими так что можно заменить на и таким образом выражение (8.4.29) принимает вид

Теперь с помощью условия унитарности выразим парциальную амплитуду через фазы (2.2.10)

и определим эйкоиальную фазу через фазу рассеяния с помощью выражения (8.4.32)

Это приводит к амплитуде в представлении прицельного параметра

Рис. 8.23. Классический пучок, обладающий импульсом и проходящий. на прицельном расстоянии от мишени, имеет угловой момент

Физически эта замена означает предположение, что каждая часть волнового фронта падающего пучка проходит через мишень не меняя своего прицельного параметра, а изменяется только фаза. Таким образом, благодаря (8.4.23) при высоких энергиях сохранение момента заменяется на сохранение Это отвечает выводу, приведенному в разд. 1.14. Теперь, полагая получаем

что согласуется для амплитуды без переворота спина с (8.4.21) при если определить эйкоиальные функции через борновское приближение для спиральных амплитуд, отвечающих обмену полюсом Редже [аналогично (8.4.20)]:

Разложение экспоненты в (8.4.37) приводит к ряду по различным разрезам, даваемым -полюсом, т. е. Так как нужно просуммировать по всем спиральностям

в промежуточном состоянии, то предполагается, что берется матричное произведение всех эйкональных фаз в пространстве спиральностей.

Для неупругих процессов можно использовать так называемое «борновское приближение искаженных волн» [319] и заменить (8.4.36) на

что отвечает, с точностью до членов второго порядка, правилам учета абсорбции (8.4.4) в случае, когда для упругой амплитуды использовано приближение обмена одним -полюсом. Таким образом, объединяя (8.3.36) и (8.4.39), получаем формулу для реджевского разреза в эйкональном приближении с учетом абсорбции для реджеонов реджеонов

где каждая эйкональная фаза вычислена в соответствии с формулой (8.4.38) и нужно просуммировать по всем спиральностям промежуточного состояния.

То, что нам удалось вычислить вклад разрезов в s-канальные спиральные амплитуды, может показаться удивительным, но объясняется это тем, что разрезы приводят к s-канальной унитаризации.

Некоторые свойства выражения (8.4.40) будут использованы в следующем разделе.