1.12. Сингулярности фейнмановских интегралов

В разд. 1.5 мы отмечали, что условия унитарности приводят к тому, что амплитуды рассеяния имеют те же особенности, что и фейнмановские диаграммы в теории возмущений квантовой теории поля.

Это не удивительно, поскольку такие теории дают лоренц-инвариант-ные амплитуды с теми же самыми свойствами связности, которые удовлетворяют унитарности, по крайней мере в теории возмущений. Разумеется, мы не надеемся, что такой подход в рамках теории возмущений будет справедлив в теории сильных взаимодействий, где ряды теории возмущений не будут сходиться, поскольку константы связи не малы и мы не можем использовать обычную технику перенормировок. Однако можно надеяться приобрести некоторое интуитивное представление о форме амплитуд сильных взаимодействий, исходя из аналогий теории поля.

Рис. 1.10. а — Диаграмма Фейнмана для обмена одной частицей в s-канале. б - Квадратная диаграмма, в — Стянутая квадратная диаграмма в случае, когда линии стянуты в точку наложением условий

Для наших целей спиновые характеристики частиц не очень важны и поэтому мы будем рассматривать только бесспиновые скалярные мезоны с массой взаимодействие которых описывается лагранжианом Правила Фейнмана для таких частиц очень просты [51]. Каждая внутренняя линия с импульсом в данной диаграмме соответствует множителю каждой вершине отвечает множитель сохранению энергии — импульса в вершине соответствует фактор и по каждой внутренней линии проводится интегрирование. Наличие -функций означает, что свободные импульсы имеют только замкнутые петли, однако одна -функция, отвечающая полному сохранению энергии-импульса, может быть вынесена из определения амплитуды рассеяния, подобно тому, как это сделано в (1.3.10).

Теперь вклад диаграммы с обменом одной частицей (рис. 1.10, а) — борцовской диаграммы в амплитуду есть всего лишь

а амплитуда, соответствующая квадратной диаграмме (рис. 1,10, б), есть

произвольная диаграмма приводит в пренебрежении нормировочными множителями к выражению

где — независимые импульсы в петлях, а значения определяются -функциями в каждой вершине. Используя равенство Фейнмана

можно переписать (1.12.3) как 1

Сингулярности таких интегралов подробно исследованы в работе [157]. Если функция представляется интегралом типа

она необязательно имеет особенность там же, где есть особенность функции потому что контур интегрирования может быть смещен в комплексную плоскость так, чтобы избежать сингулярности, а по теореме Коши все такие продолжения эквивалентны. Особенности возникают по двум причинам.

1. Особенность функции существует в конечной точке интервала интегрирования а или , поэтому контур не может быть деформирован, чтобы обойти ее. Например,

имеет особенности при или

2. Две или большее число особенностей функции приближаются к контуру с разных сторон (или сингулярность уходит на бесконечность), защемляя таким образом контур интегрирования, так что обойти эти особенности нельзя. Так, например,

имеет особенность в точке где две особенности подинтегрального выражения совпадают, и в точках как и ранее. Эти два типа особенностей называются особенностями в концевых точках и особенностями пинча соответственно.

Обобщение на интегрирование по большему числу переменных довольно сложно, потому что включаются дополнительные переменные, но известно, что особенности подынтегрального выражения в (1.12.5) приводят к особенностям амплитуды рассеяния, если выполнены следующие условия:

и

Но поскольку [см., например, (1.12.2)] каждое линейно по то последнее условие эквивалентно требованию, чтобы для каждой петли Это условие Ландау (1.5.14).

Таким образом для квадратной диаграммы рис. 1.10, б или или для и

Равенство эквивалентно стягиванию рассматриваемой линии, так что если, например, то получается диаграмма рис. 1.10, в. При этом требуется, чтобы так что и особенность возникает при т. е. на пороге. Если не обращается в нуль ни одна из то должно выполняться условие (1.12.9). Умножение уравнения (1.12.9) последовательно на каждое из дает четыре линейных уравнения для а, причем решение с возможно, только если определитель системы равен нулю, т. е.

Поскольку то видно, что особенность возникает при

Это граница области, где отлична от нуля двойная спектральная функция Мандельстама (1.11.3), поскольку условие (1.2.10) дает кривую, где скачок на s-канальном разрезе имеет скачок по связанный с -канальным порогом. Отметим, что при эта граница движется по направлению к порогу при Более сложные особенности, обусловленные большим числом частиц в промежуточном состоянии, будут возникать при больших значениях инвариантов. Здесь мы не будем обсуждать этот вопрос, а читателей, интересующихся подробным рассмотрением, отсылаем к книге [157]. Мы хотим только использовать некоторые из этих результатов далее.

Необходимо заметить, что соответствие между фейнмановскими и унитарными диаграммами всегда неоднозначно. Так, унитарная диаграмма рис. 1.11, а с обменом одной частицей соответствует скачку бесконечной последовательности диаграмм Фейнмана, аналогичных изображенной на рис. 1.11, б, которые приводят к перенормировке

вершин и массы обмениваемой частицы. Более сложные диаграммы Фейнмана, типа изображенной на рис. 1.11, в, будут давать вклад в несколько различных унитарных диаграмм, потому что скачок в этой диаграмме может быть взят несколькими различными способами, как это показано на рис. 1.11, г. Это обстоятельство следует иметь в виду при применении моделей, основывающихся на диаграммах Фейнмана, к процессам сильного взаимодействия.

Рис. 1.11. а — Унитарная диаграмма для одночастичного обмена, приводящая к скачку на полюсной особенности в виде . б - Одна из диаграмм Фейнмана, которая в случае, когда взят разрез по одночастичному пропагатору, как показано пунктирной линией, дает вклад в скачок, показанный на рис. а. в - Диаграмма Фейнмаиа. Три различных разреза диаграммы в, дающие вклад в двух-, трех- и четырехчастичные унитарные диаграммы