1.11. Представление Мандельстама

Дисперсионные соотношения по одной переменной мы получили, фиксируя одну инвариантную переменную (в (1.10.4) была фиксирована и представляя амплитуду как контурный интеграл вокруг

особенностей по другим инвариантам Однако будет иметь особенности по соответствующие -канальным порогам и т. д. На рис. 1.8, а эти -канальные обмены помещены в s-канальное условие унитарности. Будут существовать также и -канальные пороговые точки ветвления, но, конечно, и не есть независимая переменная; благодаря соотношению (1.7.21) при фиксированном положительном эти точки ветвления будут появляться при отрицательных значениях рис. 1.5).

Рис. 1.8. a - Вклад -канальных промежуточных состояний в s-канальное двухчастичное условие унитарности, б - Квадратная диаграмма — простейшая диаграмма, дающая вклад в

Можно ожидать, что эти особенности лежат на вещественной оси так что для можно записать дисперсионные соотношения, аналогичные соотношениям для самой амплитуды Определим скачок через разрезы в -плоскости как

и через разрезы в -плоскости как

Положения особенностей диаграмм низшего порядка, дающих вклад в задают граничные функции обычно это квадратная диаграмма рис. 1.8, б. В следующем разделе мы покажем, что

для случая равных масс. Эти границы показаны на рис. 1.9. Можно записать дисперсионное соотношение при фиксированном

Рис. 1.9. Плоскость Мандельстама для случая рассеяния частиц равных масс (ср. рис. 1.5, а). Заштрихованы области, где двойная спектральная функция отлична от нуля. Границы областей даются выражением (1.11.3)

Аналогичным образом скачок по и имеет точки ветвления, отвечающие и -порогам, так что можно записать

Если эти выражения подставить в (1.10.7), пренебрегая для простоты полюсными членами, то окончательно получим

Необходимо напомнить, что это соотношение, подобно выражению (1.10.7), написано при фиксированном так что во втором и в четвертом членах нужно использовать выражения

где штрихами обозначены переменные, которые получаются из знаменателей в формулах (1.11.4) и (1.11.5). Конечно же, переменные со штрихами являются немыми переменными интегрирования, так что можно переставить штрихи в четвертом члене и сложить его со вторым, получая

Это можно переписать, используя (1.11.7) в следующем виде:

так что выражение (1.11.8) принимает вид

функции называются «двойными спектральными функциями», двойным дисперсионным соотношением. Представление амплитуды рассеяния в терминах двойных спектральных функций называется представлением Мандельстама [293, 294]. Мы недостаточно хорошо знаем особенности амплитуды рассеяния, чтобы быть уверенными, что такое представление правильно. В частности, мы не знаем, все ли особенности на физическом листе лежат на действительной оси. Известно, что для диаграмм, у которых массы промежуточных состояний меньше массы внешних линий, на физическом листе появляются аномальные пороги и для того чтобы включить их, контур интегрирования должен выйти в комплексную плоскость. (Обсуждение этой проблемы можно найти в [157].) Но кажется вероятным, что выражение (1.11.9) для большинства приложений является, по меньшей мере, хорошим приближением.

Мы выводили (1.11.9) из дисперсионных соотношений при фиксированном Однако окончательный результат симметричен по всем трем переменным и мог быть равным образом получен из дисперсионных соотношений при фиксированном s или и. Это связано с тем, что из (1.11.1) и (1.10.2) двойная спектральная функция равна

что может быть записано в виде

При использовании выражения (1.11.9) возникают два усложняющих обстоятельства. Первое, достаточно тривиальное, заключается в том, что мы опустили полюса, отвечающие связанным состояниям, которые могут существовать в любом из трех каналов: или и. При необходимости они должны быть просто добавлены, как это сделано в (1.10.7). Более серьезная проблема касается расходимости интеграла, когда стремятся к бесконечности. Подобно соотношению (1.10.7), выражение (1.11.9) определено с точностью до различных вычитательных членов, которые могут быть необходимы для сходимости интегралов. Поэтому мы, возможно, будем вынуждены ввести в представление Мандельстама относительно произвольные вычитательные члены. Однако в следующей главе мы увидим, что гипотеза аналитического продолжения по угловому моменту помогает определить и эти вычитательные члены.