4.7. Ограничения на реджевские особенности, следующие из унитарности

Мы уже упоминали в разд. 2.4, что применение s-канальной унитарности приводит к ограничению Фруассара и, следовательно, к условию, что -канальные реджевские особенности не могут лежать правее 1 при Это применимо и в случае рассеяния частиц со спином, так как реджевское степенное поведение амплитуд не меняется.

Из -канальной унитарности также вытекают некоторые важные огравшчения. Для упругого рассеяния бесспиновых частиц в -канале, условие унитарности записывается в виде [из (2.2.7) и (2.6.8) с заменой

что справедливо для где порог упругого и неупругого процессов. Так как вещественно-аналитическая функция, то

для действительных (где звездочкой отмечено комплексное сопряжение), так что можно переписать (4.7.1) как

Мы знаем только, что это уравнение справедливо для целых значений I со своей сигнатурой, но поскольку обе стороны равенства (4.7.4) удовлетворяют условию теоремы Карлсона (см. разд. 2.7), то уравнение останется верным, если мы продолжим его по Отметим, что, как это следует из обсуждения в разд. 2.6, выражение (4.7.4) справедливо для нецелых I только потому, что, определяя в (2.6.8), мы устранили кинематические пороговые особенности.

Очевидно, что выражению (4.7.1) не может удовлетворять фиксированный полюс в -плоскости в виде

так как если подставить (4.7.5) в (4.7.1), то в левой стороне уравнения получится полюс первого порядка в точке приравненный полюсу второго порядка в правой стороне. Полюс, положение которого меняется с например, полюс при может удовлетворять (4.7.1) при условии, что а т. е. когда (для ). Подобные примеры мы рассматривали в разд. 3.4, где унитарность превращала фиксированный полюс борновского члена в движущийся полюс с правым разрезом.

Единственный случай, когда соотношение (4.7.4) может быть согласовано с наличием фиксированного полюса, это тот, когда существует также и разрез в -плоскости, проходящий через точку при всех Тогда в и подход к полюсу осуществляется по разным берегам разреза и полюс может существовать на одном берегу разреза, но его может не быть на другом. В таком случае нет противоречия с условием унитарности (см. разд. 8.3). Однако в отсутствие разрезов все полюса должны быть движущимися, т. е. их положение должно быть функцией

Определим соответствующие парциальные амплитуды для частиц со спином

где наименьший возможный орбитальный угловой момент на пороге для данного где или в зависимости от четности. Это обстоятельство будет рассмотрено в разд. 6.2). Тогда условие унитарности может быть записано в виде

где В представляет собой матрицы, причем различным начальным и конечным спиральным состояниям отвечают строки и столбцы матрицы (-обозначение эрмитово-сопряженной матрицы, т. е. комплексно-сопряженной и транспонированной матрицы: диагональная матрица кинематических множителей

Таким образом, суммирование по промежуточным состояниям в (4.7.7) представлено в виде матричного произведения. Аналогичным образом выше неупругого порога увеличением числа строк и колонок в соответствии с условием унитарности (2.2.11) можно включить неупругие двухчастичные процессы.

Фиксированный полюс при в выражении (4.7.7) означает, что

так что при действительных фиксированные полюса опять запрещены, но если имеет мнимую часть, то (4.7.7) приводит к равенству:

и не требуется, чтобы Таким образом, в принципе фиксированные полюса могут существовать даже в отсутствие разрезов, но они должны лежать не на действительной оси. Однако, казалось бы, нет никаких причин, по которым должны существовать такие фиксированные полюса при комплексных значениях В следующем разделе мы увидим, что фиксированные полюса действительно существуют на вещественной оси в нефизических точках с чужой сигнатурой, и ясно, что такие полюса должны накрываться реджевскими разрезами. Если определить парциальную -матрицу как

где — это единичная матрица, то условие унитарности (4.7.7) запишется в виде

где алгебраическое дополнение элемента детерминант матрицы Для двухканального процесса это выражение принимает вид

так что если 5 имеет простой полюс вида то убывание знаменателя в правой части требует, чтобы

и можно записать

т. е. вычеты в реджевских полюсах должны факторизоваться, что можно было ожидать из обсуждения в разд. 1.5. Этот результат был доказан для произвольного числа каналов в [97].