6.2. Кинематические особенности реджевских вычетов

В разд. 4.1 мы отмечали, что, хотя спиральные амплитуды имеют много преимуществ при использовании их в реджевской теории, они обладают тем недостатком, что не полностью свободны от кинематических особенностей. Поскольку вычет реджевского полюса в -канале дается формулой [см. (4.6.1) и ср. (3.2.16)]

где контур интегрирования взят вокруг полюса в точке то обсуждения в разд. 3.2 ясно, что унаследует особенности как кинематические особенности, так и динамический правый разрез, начинающийся на пороге -канала. Разумеется, не будет содержать ни полюса, ни, принимая во внимание аргументы разд. 3.2, левого разреза амплитуды

Для выделения кинематических сингулярностей использовали различные методы. Один способ заключается в установлении связи между спиральными амплитудами и инвариантными амплитудами типа (4.1.3), свободными от кинематических сингулярностей [117], однако для высоких спинов это становится сложно. Другая техника, предложенная в работе [220] и полностью разработанная в работе [396], использует тот факт, что в множителях половинного угла (4.4.12) возникают только кинематические особенности по -канальных спиральных амплитуд. С точки зрения соотношения кроссинга (4.3.7) очевидно, что кинематические особенности по -канальных спиральных амплитуд являются либо сингулярностями s-канальных амплитуд, либо известными сингулярностями матрица кроссинга (4.3.4). Полный обзор этого метода дан в гл. 6 книги [305].

Однако в обоих случаях физические причины выделения кинематических множителей довольно туманны, и поэтому мы применим менее строгий метод, основанный на работе [249], который проясняет физическую картину.

Все особенности по s-канальных спиральных амплитуд возникают из множителей половинного угла (4.4.16), и их появление легко объясняется тем фактом, что сохранение углового момента при рассеянии вперед и назад требует обращения в нуль амплитуд с переворотом спина (см. разд. 4.4). Аналогично мы увидим, что кинематические множители в -канале, которые могут возникать в процессе на порогах и псевдопорогах или при имеют также простое физическое объяснение. Начнем с предположения, что а случай равных масс, для которого псевдопорог сдвигается в точку рассмотрим далее.

Мы видели, что как в случае нерелятивистского потенциального рассеяния (3.3.24), так и для рассеяния бесспиновых частиц (2.6.8) парциальная амплитуда на пороге имеет поведение

в обозначениях (2.6.6), которое связано с фазовым объемом в данной парциальной волне. Поскольку рассеяние вблизи порога имеет нерелятивистский характер, то можно ожидать, что даже для рассеяния частиц со спином пороговое поведение аналогично будет иметь вид

где наименьшее значение I при данном В общем случае (т. е. параллельны); если же это значение

обладает чужой четностью, то Это может быть записано следующим образом:

где внутренние четности частиц; и определено в (4.5.6).

В разд. 2.6 мы видели, что для рассеяния бесспиновых частиц поведение (6.2.2) обусловлено представлением Грибова — Фруассара (2.6.2) (там, где оно сходится). Однако поскольку в

то вместо (6.2.2) получаем

Таким образом, выражение (6.2.3) может быть получено из (4.5.7) только в том случае, когда нужные дополнительные множители уже введены как кинематические множители в следовательно. в Поэтому должно быть

Аналогичный результат справедлив на пороге образования пары Псевдопорог соответствует порогу процесса, в котором более легкая частица, например имеет энергию покоя, равную Такие состояния с отрицательной энергией (или «дырки») соответствуют античастицам, причем для фермионов (но не для бозонов) античастица имеет четность, противоположную частице, так что можно заменить на Таким образом, окончательно получаем пороговое поведение

для Конечно, если, например, то псевдопорог сдвигается в точку а если то оба псевдопорога будут в точке 0. Эти случаи будут рассмотрены далее. Итак, после того как проведено разложение в ряд по парциальным волнам (4.5.7). с помощью (6.2.5) получим

где кинематический множитель, определенный в табл. 6.1. Таким образом, из (6.2.1) получаем

где вычет свободен от кинематических сингулярностей на порогах и псевдопорогах (но не обязательно при Мы ввели произвольный масштабный фактор измеряемый в тех же единицах, что и так что единицы, в которых измерено не меняются с а Это обстоятельство будет обсуждаться далее в разд. 6.8а.

На порогах, однако, возникает дополнительная проблема, связанная с тем, что различные спиральные амплитуды для данного процесса не независимы [249, 386]. Это так, потому что на пороге, благодаря (6.2.2), выживают только состояния с а поэтому заключено в интервале так что в разложении по парциальным волнам (4.4.14) остаются только эти значения Поэтому, если определить и разложить парциальные спиральные состояния по -состояниям поскольку на пороге получим

где нормировочный множитель; коэффициент Клебша — Гордана. Таким образом, на пороге парциальная спиральная амплитуда может быть записана в виде

где не зависит от При суммировании по заключенному в пределах на пороге образования частиц все различные с одинаковыми значениями но с различными связаны между собой коэффициентами Клебша-Гордана, как это следует из (6.2.11).

Лучше всего проиллюстрировать это на примере. Так, если рассмотреть упругое -рассеяние, для которого -канальным процессом является процесс то видно, что на -пороге при соотношение между амплитудами (4.3.11) имеет вид

Множитель получается из множителя половинного угла [см. (6.2.15)]. Тогда после выделения всех кинематических множителей получим :

где амплитуды А свободны от кинематических сингулярностей как по так и по Если выразить все эти амплитуды через один полюс Редже а то получим из (6.8.1):

где вычеты, не имеющие кинематических особенностей. Соотношение (6.2.12) принимает при этом вид

Это условие всегда будет выполняться, если запишем

где теперь не имеют особенностей и на них нет никаких ограничений. Подставляя (6.2.14) и (6.2.15) в (4.3.12), получаем

Это выражение не имеет особенности при а если бы мы использовали непосредственно (6.2.14) и (6.2.15), не учитывая ограничение (6.2.16), то в этой точке возникал бы ложный полюс. Это довольно громоздкая процедура, но, к счастью, оказывается, что обычно пороги находятся достаточно далеко от физической области s-канала поэтому ничего плохого не случится, если мы не будем учитывать это ограничение. В действительности оно важно только в случаях, аналогичных процессу где псевдопорог в точке находится недалеко от точки

Далее мы должны рассмотреть точку Если массы не равны, т. е. гпхфгпз, то из (1.7.19) видно, что

Множитель половинного угла (4.4.12) ведет себя как

и, таким образом, из (4.4.16)

Следовательно, амплитуды с определенной четностью (4.6.10) ведут себя как

где не имеют особенностей при Поэтому имеет особенность вида

где одна из амплитуд , а определены в (4.4.11) и в (4.5.15). Но реджевский полюс с определенной четностью не может иметь такого сингулярного поведения, потому что если бы это было так, то мы имели бы

где Эта амплитуда сингулярна независимо от того, равно ли или кроме случая, когда Связь между на самом деле следует прямо из (6.2.22) и (6.2.23), но при обмене реджевским полюсом с определенной четностью она не выполняется. Поэтому вместо (6.2.23) будет менее сингулярное поведение

т. е. мы умножили (6.2.23) на (Однако для случаев с полуцелым фермионным числом будет возникать ложная точка ветвления — см. разд. 6.5.)

Чтобы получить поведение вычета при из (6.2.25), отметим, что (6.2.9) из (1.7.15) имеет особенность вида Величина сокращается с соответствующей особенностью в асимптотике функций вращения в (4.6.4)

как это следует из но член останется, так что в итоге получим

где не имеет кинематических особенностей. К сожалению, это выражение не удовлетворяет требованию факторизации, так как его асимптотика при » не факторизуется между начальным и конечным состояниями. Нужно записать

что возможно, только если мы изменим поведение при на поведение вида и тогда в результате получим

где не имеет кинематических особенностей, но, возможно, удовлетворяет пороговым условиям типа (6.2.16).

Если одна пара масс одинакова, например, то а если и то при конечно, но в обоих случаях псевдопорог сдвигается в точку Минимальное кинематическое поведение можно получить повторением предыдущих аргументов. Для амплитуд, у которых в одном состоянии массы равны, а в другом не равны, нужно обеспечить факторизацию типа (6.2.28):

где значения даны в табл. 6.1 (исключение — см. разд. 6.5).

Таблица 6.1 (см. скан) Кинематические множители -канальной спиральной амплитуды

Когда выражение (6.2.30) подставлено в (4.6.4) идля функций вращения использована асимптотика вида (6.2.26), вклад реджевского полюса в амплитуду рассеяния принимает вид

где определена в и использовано соотношение

Тот же результат получаем из (4.6.2), используя для