4.3. Кроссинг спиральных амплитуд

Чтобы изучать вклад обменов реджевскими полюсами в процесс рассеяния, необходимо уметь переходить от амплитуды рассеяния в системе центра масс кaнaлa для процесса в котором реджеон проявляется как физическая частица, к амплитуде в системе центра масс s-канала, описывающей процесс Для бесспиновых частиц соотношение кроссинга записывается просто как

что следует из постулата кроссинга (см. разд. 1.6).

Однако для спиральных амплитуд дело обстоит не совсем так просто, потому что спиральности определены через проекции спина на направления движения различных частиц, так что если мы изменим направления движения, то спиральности тоже изменятся. Более того, мы должны сделать не просто физическое преобразование Лоренца, а сложное лоренцево преобразование, при котором мы переходим от значения импульсов, отвечающих физическому процессу в s-канале, к значениям импульсов в -канале, где импульсы частиц 2 и 3 обращены. Таким образом, при определении способа продолжения кинематических множителей, входящих в преобразование Лоренца, требуется большая аккуратность. Однако можно показать [387], что при подходящем способе продолжения спиральности при кроссинге не меняются, так что (с точностью до возможного фазового множителя)

где X — спиральности в системе центра масс -канала, т. е. проекции спина частиц на их направления движения в этой системе. Теперь нужно переписать (4.3.2) в терминах s-канальных спиральностей, а чтобы

сделать это, используем тот факт, что при общем преобразовании Лоренца спиральное состояние преобразуется

где -матрица вращения лоренц-преобразованный 4-импульс. Но импульсы появляются только в лоренцевых скалярах поэтому

Здесь использовано соотношение чтобы выразить матрицы вращения через функции вращения угол между направлениями движения частицы в системах центра масс и -каналов. В терминах эти углы даются следующими выражениями [305]:

где

и определены выражениями (1.7.23) и (1.7.11). Часто бывает удобно записать (4.3.4) как

где спиральная матрица кроссинга, определенная в (4.3.4). Она, разумеется, является квадратной матрицей с строками и колонками, но число ее элементов часто может быть уменьшено благодаря соотношениям четности и обращения времени (4.2.1) и (4.2.4).

В качестве примера рассмотрим упругое рассеяние в s-канале, -канал для которого есть Соотношение кроссинга имеет вид

где что получается при подстановке соответствующих масс в выражения (4.3.5). Используя и равенства где как в (4.2.22), найдем, что соотношения кроссинга принимают вид

Эти амплитуды связаны с инвариантными амплитудами и из (4.1.4) следующим образом [117]:

Так как инвариантные амплитуды свободны от кинематических сингулярностей, то эти уравнения непосредственно дают кинематические особенности спиральных амплитуд. Амплитуда определенная в (4.3.11), будет использована далее.

Так как функции вращения ортогональны, то и матрица кроссинга тоже ортогональна. Следовательно, мы можем записать дифференциальное сечение в виде

Уравнения (4.2.5) и (4.3.12) эквивалентны в физических областях -каналов, так что не имеет значения, используются ли и -канальные спиральные амплитуды. Однако вне физических областей матрица кроссинга обладает сингулярностями, так что при использовании эквивалентности этих двух уравнений необходима особая осторожность. Очевидно, что матрицы плотности для двух наборов амплитуд не одинаковы, хотя оба случая довольно часто применяются. Уравнение (4.2.10) дает то, что называется s-канальными или спиральными матрицами плотности, в то время как те же выражения, где заменены на дают -канальные матрицы плотности или матрицы плотности Готтфрида-Джексона [200]. Матрица кроссинга (4.3.7) позволяет преобразовать один набор матриц плотности в другой.