4.2. Спиральные амплитуды и наблюдаемые

Для процесса рассеяния существует различных спиральных амплитуд, отличающихся различными возможными комбинациями в (4.1.6). Однако из-за того, что сильные взаимодействия инвариантны относительно изменения четности и обращения времени, не все они независимы. При изменении четности вектор импульса преобразуется как но так как вектор спина а является аксиальным вектором (т. е. преобразуется как векторное произведение то Следовательно, при преобразовании четности знак спиральности (1.2.4) меняется на противоположный, т. е. Так как процесс рассеяния инвариантен относительно то

где фазовый множитель. Обычно для спиральных амплитуд фазу выбирают, следуя [254], т. е. представляя оператор изменения четности как отражения в -плоскости с вращением на угол вокруг оси у. Условно принимаем, что частица движется вдоль оси так что, например,

где внутренняя четность частицы, множитель появляется из-за того, что отражение производится с помощью матрицы поворота из и Так как в качестве плоскости рассеяния выбрана плоскость то, вспоминая, что частица 2 распространяется в направлении, противоположном частице 1, фазовый множитель в (4.2.1) принимает вид (см. [305, с. 232])

Подобным образом инвариантность относительно обращения времени требует, чтобы с точностью до фазового множителя амплитуды процесса равнялись бы амплитудам процесса при сделанном выше выборе (см. [305, с. 232])

Эти соотношения сильно ограничивают число амплитуд, которые нужно рассматривать. Так, для процесса со спинами из четырех возможных спиральных амплитуд только две независимы, в то время как для процесса из 16 возможных амплитуд независимы только шесть. В некоторых случаях из тождественности частиц следуют дальнейшие ограничения (зависящие от того, какой статистике — Ферми или Бозе годчиняются рассматриваемые частицы).

в общем случае в процессе рассеяния невозможно определить полностью ориентации спинов всех частиц. Это значит, что нельзя иметь дело с чистыми спиральными состояниями, в которых каждая частица имеет определенную проекцию спина, а нужно рассматривать смешанные состояния (статистические ансамбли), которые являются некогерентными суммами различных состояний спиральности, входящих с различными вероятностями (см., например, [355]).

Простейший эксперимент — это такой, в котором не делается попыток определить какое-либо из направлений спина, так что все спиральных состояния каждой частицы равновероятны. В этом случае нужно просто провести усреднение по всем возможным спиральным состояниям, которые могут давать вклад в начальное состояние, и просуммировать по всем тем состояниям, которые могут возникать в конечном, так что вместо (1.8.16) неполяризованное дифференциальное сечение в терминах амплитуд (4.1.6) имеет вид

где суммирование по означает суммирование по всем значениям каждой спиральности . Аналогичным образом полное сечение процесса любые частицы в случае рассеяния начального неполяризованного состояния связано при помощи оптической теоремы (1.9.6) с амплитудой упругого рассеяния вперед соотношением

Проводя эксперименты с поляризованными частицами, т. е. с частицами, для которых средняя проекция спина на некоторое выбранное направление отлична от нуля, можно получить информацию о зависимости процесса рассеяния от спина. Это можно сделать, например, в поляризационном эксперименте, в котором протон мишени при очень низких температурах помещен в сильное магнитное поле, направленное вдоль выбранной оси, что дает, скажем, более чем -ную вероятность того, что Или в случае, когда одна из частиц в конечном состоянии нестабильна, можно определить среднюю ориентацию спина такой частицы из углового распределения продуктов ее распада.

Будем описывать смешанное спиновое состояние данной частицы припомощи спиновой матрицы плотности эрмитовой матрицы размерностью на с единичным следом, такой, что ожидаемое значение (или среднее значение) некоторой наблюдаемой величины О, зависящей от спина, в таком состоянии дается выражением

где след матрицы. Предположим, например, что наблюдается угловое распределение от двухчастичного распада одной из частиц конечного состояния (скажем частицы 4), так что весь процесс имеет вид Тогда амплитуда рассеяния будет иметь вид

— амплитуда вероятности образования частицы 4 со спиральностью амплитуда распада частицы 4 из этого спирального состояния в частицы а причем частица а движется вдоль прямой, определяемой полярными углами к направлению движения частицы 4. (Эти углы измерены в системе покоя частицы 4.) Таким образом, угловое распределение этого процесса равно

Следовательно, если мы определим спиновую матрицу плотности образования частицы 4 как

которая нормирована так, что и определим распадную матрицу плотности, так что

то угловое распределение (4.2.9) будет определяться выражением

Если мы знаем то может быть определено непосредственно из Таким образом, в дополнение к (4.2.5) можно получить добавочную информацию об амплитуде .

Чтобы получить положим импульсы частиц в системе покоя частицы 4 равными и обозначим единичный вектор в направлении Тогда конечное состояние после распада есть Для распада с сохранением четности амплитуда распада принимает вид (с соответствующей нормировкой)

где матрица вращения отвечающая повороту системы с угловым моментом а, от направления движения частицы есть проекция спина частицы 4 на это направление до направления есть проекция спина на угол между азимутальный угол вокруг Используя представление

и суммируя по спиральностям , получаем, что нормированное угловое распределение имеет вид

Так, для распада частицы со спином 1 на две частицы со спином О (т. е. получаем

Теперь совсем просто, взяв подходящие моменты от наблюдаемого экспериментального распределения, обратить (4.2.16) и получить т. е.

Аналогичные, но несколько более сложные выражения получаются для нарушающих четность слабых распадов, таких, как потому что в этом случае амплитуда распада, соответствующая выражению (4.2.13), будет включать два члена — четный и нечетный — относительно изменения четности [248].

Ввиду соотношения четности (4.2.1) не все элементы матрицы плотности независимы, а справедливо соотношение

К тому же эрмитовость матрицы плотности требует, чтобы были действительными, что вместе с условием нормировки оставляет независимыми лишь следующие действительные наблюдаемые величины:

Если обе частицы в конечном состоянии распадаются, то имеется объединенная матрица плотности

которая может быть получена из объединенного распадного распределения

Для частиц со спином 1/2 матрица плотности обычно выражается через вектор поляризации определяемый выражением

где а — матрицы Паули. Ось z, как обычно, выбрана вдоль направления движения, а ось у перпендикулярна плоскости реакции. Сохранение четности (4.2.18) требует, чтобы Так, например, для реакции с поляризованной протонной мишенью

где равно ±1/2 для спиральностей нуклона, а индекс спиральности пиона, равный 0, опущен. Величина может быть определена непосредственно из асимметрии сечения рассеяния относительно плоскости