2.8. Полюса Редже

Второй член в формуле (2.7.8) называется «полюсом Редже», который является полюсом в комплексной плоскости В амплитуду рассеяния он вносит вклад:

Его вклад в скачок по s имеет следующий вид, если вспомнить

как и ожидалось из (2.7.1). Фактически если выражение (2.8.2) подставить в (2.6.2), то с помощью можно получить

Это выражение подтверждает, что формула (2.8.1) указывает на возникновение полюса в плоскости

Если а является функцией переменной то для данного фиксированного I амплитуда будет иметь полюс по при некотором таком, что Мы будем подробно исследовать свойства функций а в разд. 3.2 и найдем, что функция а обычно является аналитической функцией и содержит точку ветвления при пороговом значении Таким образом, для действительных значений можно выделить в этой функции действительную и мнимую части

и определить точку в которой Разлагая а около этой точки в ряд, получаем

(штрих означает производную по и поэтому для а парциальная амплитуда имеет вид

что справедливо в предположении а а. Это выражение можно сравнить с формулой Брейта-Вигнера (2.2.15), из которой сразу видно, что выражение (2.8.6) соответствует -канальному резонансу с массой и полной шириной

Ниже порога мнимая часть равна нулю: и мы имеем полюс, отвечающий связанному состоянию при действительных значениях Эти факты позволяют рассматривать связанные состояния и резонансы с одной точки зрения: как полюса Редже (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Траектория Редже с четной сигнатурой. Траектория имеет при некотором (меньше порога), давая связанное состояние со спином, равным нулю, и массой а затем идут резонансы: со спином 2 и массой со спином 4 и массой При траектория приводит к степенному поведению в перекрестном s-канале,

Когда такие полюса Редже возникают при целых физических значениях I, то они отвечают физическим частицам или резонансам. Это высказывание совершенно очевидным образом подтверждается и формулой (2.8.1), из которой видно, что полюс по возникает, огда функция а равняется целому числу, так как при этом обращается в нуль Однако формула (2.8.1) написана для амплитуды с определенной сигнатурой и поэтому, для того чтобы получить выражение для физической амплитуды, необходимо воспользоваться формулой (2.5.10) и в результате

Это выражение с помощью приводится к виду

Так как вследствие последний член этого выражения дает в асимптотике пренебрежимо малый вклад, его обычно опускают. Окончательное выражение, часто используемое в литературе, имеет вид

Фактор называется «сигнатурным множителем». Этот фактор обеспечивает выполнение условия: траектория с данной сигнатурой вносит вклад в полюс по в амплитуде рассеяния только в том случае, если а проходит через точки своей сигнатуры, т. е. четные — нечетные целые числа [см. (2.5.4) и последующие формулы].

Для того чтобы не вступать в противоречие с ограничением Фруассара (2.4.9), необходимо, чтобы а для Для положительных траектория проходит через несколько целых чисел, и поэтому

мы можем ожидать, что обнаружим целые семейства частиц, которые лежат на траекториях, причем те, которые лежат на данной траектории, имеют спины, отличающиеся на две единицы углового момента. В гл. 5 мы покажем, что это действительно справедливо (во всяком случае, когда берется в виде линейной функции

как это для примера показано на рис. 2.9 и 5.4-5.6). Этот факт служит одним из оправданий применимости идей Редже. к физике частиц.

Другой простой проверкой служит рассмотрение физической области перекрестного s-канала В этом случае (2.8.10) дает при учете (1.7.9) и

причем в этом случае характеризует передачу импульса. Таким образом, мы ожидаем, что при высоких энергиях зависимость от s амплитуды рассеяния в s-канале дается простым степенным поведением, причем показатель степени является функцией от переданного импульса [вспомним, что в этой области действительная функция). Все это должно бы быть следствием аналитического продолжения по спинам частиц, лежащих на лидирующей -канальной траектории (см. рис. 2.9 или 6.6). Таким образом, так как при положительных функция а наблюдаема только в дискретных точках, где а равно целому числу и где имеются частицы, функцию можно определить по асимптотическому поведению при для всех по крайней мере в принципе. Однако практически это довольно трудная задача, так как в каждом конкретном процессе обычно происходит обмен несколькими траекториями, и хотя разные траектории характеризуются различным степенным поведением, тем не менее их довольно сложно выделить на фоне друг друга. Но, несмотря на все эти трудности, было доказано, что можно полностью определить свойства большого количества траекторий, исходя из экспериментальных данных, изложенным выше способом (см. разд. 6.8).

Степенное поведение, ожидаемое при обмене траекторией Редже (иногда вместо этого говорят об обмене «реджеоном») (2.8.12), можно противопоставить поведению, возникающему при обмене частицей с фиксированным спином (2.6.10) и которое соответствует символу Кронекера в плоскости I (2.6.11). Из мы видим, что выражение (2.6.10) приводит к где целое число и не зависит от На первый взгляд этот факт кажется довольно удивительным: обмен многими частицами с высокими спинами, лежащими на траектории подобной той, что изображена на рис. 2.9, должен дать степенную зависимость с показателем степени а при (как это требует ограничение Фруассара), тогда как обмен каждой частицей отдельно приводил бы к Объяснение этого кажущегося противоречия состоит в том, что вклады от различных парциальных волн сокращаются (необходимо просто помнить, что разложение по парциальным волнам в -канале не сходится в физической области

s-канала). Для того чтобы это пояснить, предположим, что имеется линейная траектория, подобная (2.8.11), с полюсами при

Затем мы можем написать для этих полюсов ряд по парциальным волнам

и когда мы воспользуемся преобразованием Зоммерфельда-Ватсона (2.7.8), то в результате получим что вполне естественно.

Гипотеза максимальной аналитичности второго рода подразумевает, что все вычитания в дисперсионных соотношениях, подобные (1.10.7), являются следствием сингулярностей в плоскости углового момента типа (2.7.2) и (2.7.4). Если бы были разрешены произвольные вычитания как в (1.10.10), то функция (которая является полиномом по степени вносила бы вклад во все парциальные волны с в -канале, давая в плоскости I члены с -символами Кронекера: а не сингулярности.

Но такого типа члены устраняются нашим постулатом аналитичности. Из ограничения Фруассара следует, что степень может быть как максимум равна единице и поэтому высшие парциальные волны, несомненно, определяются и получаются только из скачка однако постулат аналитичности также требует, чтобы низшие парциальные волны получались бы из высших с помощью аналитического продолжения, т. е. они тоже определяются скачком следовательно, функция не является произвольной.

На этом мы завершим обсуждение наиболее важного момента в определении амплитуды рассеяния, исходя из уравнений унитарности. Как мы видели в гл. 1 (особенно в разд. 1.10), если заданы все полюса, отвечающие частицам (массы и константы связей), то можно, в принципе, определить с помощью соотношений унитарности все остальные сингулярности и, следовательно, найти амплитуду рассеяния, испольг дисперсионные соотношения (конечно, с точностью до неопределенности, связанной с вычитаниями). При этом, по-видимому, не возникает никаких ограничений на число частиц. Однако кажется очень маловероятным, что необходимо взять а только полюса, отвечающие всем частицам, так как имеются составные частицы, которые являются следствием действия межчастичных сил и которые должны возникать как следствия унитарности; они будут лежать на траекториях. Например, если рассмотреть дейтрон как связанное состояние протона и нейтрона, то можно было бы вывести все его свойства (массу и константу связи), исходя из знания сил, ответственных за сильные взаимодействия, и все это, конечно, противоречило бы введению произвольных значений для этих величин.

с другой стороны, максимальная аналитичность второго рода подразумевает, что если известен скачок то можно обратить всю изложенную выше процедуру с помощью представления Грибова—Фруассара и выяснить природу всех полюсов, потому что все они являются полюсами Редже. Эта процедура предполагает очень высокую степень самосогласованности теории сильных взаимодействий. Если очень постараться и придумать новую частицу, а затем ввести ее в соотношения унитарности, то она должна привести к возникновению дальнейших сингулярностей и дальнейших вкладов в асимптотическое поведение амплитуд рассеяния, и, следовательно, дальнейших полюсов Редже, которые, в свою очередь, будут включены в соотношение унитарности, и т. д.

Совершенно очевидно, что если наши постулаты корректны, то настоящее (возможно, бесконечное) число типов различных частиц во Вселенной должно быть самосогласованным, т. е. под действием комбинированных процессов унитаризации и аналитического продолжения по I только они должны воспроизводиться, а не должно появляться каких-либо новых частиц. Однако существует ли только один единственный набор с такими свойствами, т. е. определяет ли требование самосогласованности теорию полностью, —этот вопрос не ясен. Подход, в котором все сильновзаимодействующие частицы генерируют друг друга таким способом, называется «гипотезой бутстрапа» (см. [101]), и мы будем ее обсуждать и исследовать в дальнейшем. Интуитивно кажется ясным, что если все адроны составляются один из другого, а все силы возникают как следствие обмена частицами, то в этом случае необходимо ввести некоторую форму самосогласованности, причем, призывая на помощь теорию Редже, можно дать более строгую формулировку этой идеи. Так как в рамках этого подхода устраняются элементарные частицы и все наблюдаемые частицы входят на равных основаниях как составные реджеоны, то этот подход иногда называется «ядерной демократией» [102].

С другой стороны, может быть так, что имеется несколько базисных, основных элементарных частиц, например кварков (см. гл. 5), которые не лежат на реджевских траекториях и свойства которых необходимо изучить, прежде чем пытаться предсказывать спектр частиц. Если так, то теория Редже недостаточна сама по себе, чтобы сказать нам все о физике сильных взаимодействий, но в этом случае она снабдит нас очень важными условиями самосогласованности амплитуд рассеяния. Мы еще вернемся к обсуждению этих философских проблем в гл. 11.