3.2. Свойства траекторий Редже

Свойства аналитичности и унитарности парциальных амплитуд подразумевают существование некоторых общих свойств траекторий Редже.

Например, возникновение полюса при подразумевает, что

Это свойство может быть неявно использовано при определении функции а следовательно, говорит об аналитичности функции а Однако значительно более полезно начать с того, что написать, исходя из (2.6.2) и (2.6.8) [323, 41], следующее выражение:

Для того чтобы определить функции область интегрирования была разделена некоторой точкой на две области. Затем если а из следует, что то мы находим

Таким образом содержит полюс. Так как в определение входит интегрирование по конечному отрезку то эта функция не содержит полюса. Таким образом, вместо определения (3.2.1) можно ввести другое определение функции а

Из определения (3.2.2) совершенно очевидно, что функция имеет точно такие же сингулярности, что и амплитуда т. е. тот же самый правый динамический разрез, начинающийся от порога

возникающий вследствие сингулярностей s-канала, но сама точка ветвления сдвинута несколько дальше влево в плоскости так как ее положение теперь определяется величиной а не [подставленной вместо в выражение (2.6.16), см. разд. 2.6]. Так как кинематические пороговые факторы, приводящие к сингулярности на пороге, устранены из то, естественно, они отсутствуют в

Теорема о неявных функциях говорит (см. [381, с. 198]) о том, что если регулярная функция в окрестности некоторой точки и если

то функция а также является регулярной функцией в окрестности точки Это можно очень хорошо продемонстрировать, если разложить функцию в ряд Тейлора около точки

Затем, положив при получим разложение

которое представляет собой ряд Тейлора для функции а и поэтому функция а должна быть регулярна в окрестности точки Однако в том случае, если условие (3.2.5) не выполняется, т. е. если то

и имеются две траектории, которые пересекаются в точке Каждая из них содержит точку ветвления корневого типа, причем их мнимые части при имеют противоположные знаки и равны по величине — это необходимо для сохранения аналитичности функции Конечно, в том случае, если в этой точке обращается в нуль и точки ветвления не будет.

Таким образом, можно заключить, что функция а аналитична тогда, когда аналитична функция Конечно, это справедливо в случае, когда две или более траектории не пересекаются, ибо в противном случае функция каждой траектории может иметь (а может и не иметь) точку ветвления. Итак, если только траектории не пересекаются, можно ожидать, что функция а имеет те же самые сингулярности, что и Отметим, что положение левого разреза в функции довольно произвольно, так как оно зависит от Мы можем сделать по своему желанию s сколь угодно большим и все равно будем получать полюс в (3.2.3), потому что он связан с расходимостью на верхнем пределе интеграла в (3.2.2) и вполне очевидно, что функция а не может содержать левого разреза Следовательно, если только две траектории не сталкиваются, функция а имеет только динамический правый разрез от до

Фактически такие столкновения траекторий должны возникать при для фермионных траекторий, чтобы удовлетворять обобщенной

симметрии Мак-Дауэлла (см. разд. 6.5). Кроме того, они появляются в различных вычислениях, проводимых в задачах потенциального рассеяния, но это явление возникает только, когда следующий раздел). В настоящее время не имеется никаких прямых указаний на то, что в адронной физике при возникают комплексные траектории (см. однако разд. 8.6), и поэтому обычно предполагается, что функции траекторий являются действительными функциями при

Поэтому, раз уж а -аналитическая функция, можно написать дисперсионные соотношения

Отметим, что обычно приходится в этих дисперсионных соотношениях делать вычитания. Например если

где полином по то имеем

В следующем разделе мы найдем, что для потенциалов с хорошим поведением (типа Юкавы) траектории стремятся к отрицательным целым числам, когда приводя к

с другой стороны, траектории, которые встречаются в физике частиц, приблизительно линейны с довольно малыми мнимыми частями (см. разд. 5.3) и поэтому вместо (3.2.11) будет

Однако интеграл в (3.2.12) может оказаться расходящимся. Тогда потребуется сделать вычитания, аналогично тому как это делалось в (1.10.10). Например, если окажется, что достаточно сделать два вычитания, то получим

Мы сделали вычитания при и поэтому

Мы найдем в дальнейшем (см. разд. 5.4), что при и тогда если взять производную по от (3.2.11), либо (3.2.12) или (3.2.13)

то сразу видим, что все производные положительны при Функция, обладающая такими свойствами, называется функцией Герглотца [232].

Если полюс имеет вид (2.8.3), то, вспомнив (2.6.8), получим

Функция которая является вычетом в полюсе Редже и из которой устранено пороговое поведение, довольно часто называется «приведенным вычетом». Если использовать теорему Коши о вычетах, то из формулы (3.2.2) можно получить

где контуром интегрирования является замкнутая кривая, охватывающая точку и не захватывающая никаких других сингулярностей функции Эта формула вместе с теоремой о неявных функциях указывает на то, что будет иметь аналитические свойства, похожие на те, которые имеет функция а т. е. она будет иметь динамический правый разрез из-за Конечно, все это справедливо в том случае, если не пересекаются две или более траекторий. Из тех же соображений, из которых было написано дисперсионное соотношение (3.2.9), можно написать дисперсионное соотношение для реджевского приведенного вычета

в котором, так же как и в предыдущем случае, можно сделать вычитания, если это необходимо.

Можно также исследовать с помощью соотношения унитарности природу точки ветвления в функции траектории при Для этого рассмотрим процесс упругого рассеяния в области ниже первого неупругого порога в -канале. Тогда из (2.6.23) имеем

где функция

при имеет такой же скачок, что и Таким образом, функция

аналитична в этой области. Из (3.2.1) имеем

Если определим то тогда [используя (1.7.15)]

Итак, если Если разложить в ряд Тейлора около пороговых значений то получим

где

Таким образом,

Следовательно, траектория имеет пороговую точку заострения при — а выше порога

Однако в потенциальном рассеянии эти эффекты заострения будут малы [397]. Поскольку

то условие существования полюса (3.2.1) с помощью (3.2.20) принимает вид

Оно может быть удовлетворено при для любых таких, что

или, в явном виде,

Итак, бесконечное число траекторий сходится к точке при Это явление иногда называется явлением Грибова-Померанчука [207, 208]. Их возникновение должно служить предостережением для тех, кто думает, что левая полуплоскость углового момента имеет простую аналитическую структуру.