8.3. Реджеонное исчисление

Реджеонное исчисление [204] использует фейнмановские интегралы для вычисления вершин связи реджеонов, но заменяет лестницы амплитудами, отвечающими обмену реджевскими полюсами. Такая замена кажется правдоподобной благодаря результатам типа (8.2.37).

Таким образом, диаграмма Мандельстама рис. 8.5 заменяется на рис. 8.10, где реджевские полюса. Тогда возникают три петли, две из которых отвечают крестам, а третья включает реджеоны, так что правила Фейнмана дают

где фейнмановские пропагаторы

Если ввести переменные Судакова, аналогично тому, как это сделано в (8.2.24),

знаменатели примут вид

где

а элементы интегрирования равны

Поскольку Л» ( амплитуда обмена реджевским полюсом, нужно, чтобы она обращалась бы в нуль при больших переданных импульсах причем связанные с ними «массы» и также должны быть Но поскольку соответствующая энергетическая переменная велика, то основная область интегрирования в (8.3.1) это

Рис. 8.10. Диаграмма, приводящая к двухреджеонному разрезу.

Тогда с учетом факторизации амплитуды обмена реджеоном

где реджевская траектория [не путать с переменными Судакова в выражениях а

— сигнатурный множитель. Аналогичное выражение можно записать для и окончательно получим

где

есть фейнмановский интеграл по верхнему кресту. Он такой же, как (8.2.36), за исключением включения и появления параметров Судакова, растущих в степени что связано со спинами реджеонов.

Рис. 8.11. Четыре диаграммы, включающие перекрестные члены получающиеся из произведения сигнатурных множителей в выражении (8.3.8)

Ясно, что результат (8.3.8) согласуется с формулой (8.2.37), за исключением того, что теперь мы включили сигнатурные множители. Оставшиеся интегралы двумерны в соответствии с (3.4.9) и (8.2.13). Это вытекает из того обстоятельства, что после двойного разложения по парциальным волнам остаются только две переменные интегрирования из четырех. Очевидно, что сигнатура такого разреза есть просто произведение сигнатур двух полюсов, т. е.

Это обусловлено тем, что в знаменателе появляется так что при замене — s преобразуется как произведение двух полюсов. Четыре члена, получающиеся при перемножении двух сигнатурных множителей, показаны на рис. 8.11.

Чтобы исследовать структуру -плоскости, сделаем преобразование Меллина (2.10.3):

где скачок по s выражения (8.3.8) дается формулой

и где из (8.3.7)

Получим

которая обладает разрезами при

в соответствии с (8.2.19).

Скачок через двухреджеонный разрез равен

что может быть переписано

Аналогично для ветвлений более высокого порядка, типа показанных на рис. 8.12, скачок равен

Это выражение может рассматриваться как скачок на разрезе фейнмановской диаграммы (рис. 8.13), на которой каждый реджеон рассматривается как квазичастица в двумерном пространстве с импульсом и «энергией» причем энергия и импульс в каждой вершине сохраняются, так как -функции в (8.3.18) соответствуют правилам Каткоского (1.5.11). Элемент фазового объема равен

где и (8.3.18) можно переписать:

Следующий шаг заключается в том, чтобы попытаться обобщить сделанное вьппе предположение и представить не только как фейнмановский интеграл, но как амплитуду с обменом реджеонами.

Рис. 8.12. Некоторые многореджеонные разрезы

Рис. 8.13. Скачок на трехреджеонном разрезе. Каждый реджеон имеет импульс и «энергию»

Таким образом, содержит реджевские полюса и разрезы, как это изображено на рис. 8.14. Сложность заключается в том, что необходимо выяснить, по какую сторону разреза должны находиться значения подставляемые в предыдущую формулу. Чтобы определить это, нужно рассмотреть реджеоны как двухчастичные состояния (по крайней мере) и таким образом двухчастичный реджеонный разрез включит двухчастичное условие унитарности в -канале.

Выяснилось [209, 406, 409], что ответ полностью аналогичен формулам для скачков через разрезы в s-плоскости и, например, можно написать [ср. (1.3.16)]

или

где отвечает значению выше (ниже) разреза в вершине Это обобщение кажется достаточно очевидным, но на деле требуется большая аккуратность, чтобы убедиться, что взят правильный скачок особенно имея в виду свойства сигнатуры реджеонов.

Эта аналогия между условиями унитарности в и -плоскости правилами, аналогичными правилам Каткоского, привела многих авторов к попытке построить реджеонную теорию поля в пространстве двух пространственных и одного временного измерения [1, 2, 81, 82, 205, 310]. Для линейных траекторий

реджевский полюс принимает вид

что напоминает пропагатор нерелятивистской частицы с массой и с «энергетической щелью» т. е. скорость частицы равна Таким образом, можно построить теорию поля, в которой реджеонное поле удовлетворяет уравнению Шредингера. В дополнение к обычным проблемам перенормировок (см. рис. 8.14) и сходимости существует основная неопределенность, заключающаяся в том, что неясно, имеет ли смысл заменять лестницы голыми реджеонами и затем перенормировать их.

Рис. 8.14. Вклад полюса (а) и разреза (б) в вершинную функцию на рис. 8.12, а

Например, присутствие полюса или разреза в вершине при значениях, больших означает, что в выражении (8.2.38) ведет себя как или так что определяющий интеграл не будет сходиться без перенормировки. Еще хуже то, что -полюс с вообще не имеет энергетической щели, и поэтому померон аналогичен безмассовой частице в соответствующей теории поля и все особенности накапливаются в точке совершенно так же, как это имеет место в проблеме инфракрасных расходимостей, вызванной безмассовым фотоном в квантовой электродинамике. Таким образом, асимптотическое поведение сечения зависит от решения вблизи критической точки Эта задача была исследована с помощью методов ренормгруппы. К настоящему времени в этом направлении достигнут весьма ограниченный прогресс, и мы не будем более обсуждать эту тему (см. обзор [3]).

Суммируя и обобщая результаты, мы показали, что обмен реджеонами приводит к разрезу от точки ветвления при [что следует из (8.3.18)]

где максимум берется в пределах разрешенной области интегрирования. Для возрастающих траекторий он ограничен значением

Этот разрез мы будем часто называть реджевским разрезом вида где знак означает интегрирование по фазовому объему (8.3.8) или (8.3.18). Если траектории одинаковы, то приведенные выше правила дают

и если траектория линейна: то

Сигнатура разреза равна произведению сигнатур полюсов [ср. (8.3.10)]:

Во введении отмечалось, что реджевские разрезы нужны для согласования фиксированных полюсов Грибова — Померанчука с -канальной унитарностью, и поэтому нужно проверить, что приведенные выше точки ветвления действительно обеспечивают это согласование [66, 238, 257, 357].

Рис. 8.15. а — Двухреджеонное промежуточное состояние в канале. б - Амплитуда рассеяния реджеон — частица

В случае рассеяния скалярных частиц самая правая особенность Грибова — Померанчука в амплитуде, например, с четной сигнатурой находится в точке Если реджевский разрез лежит над -канальным унитарным разрезом, начинающимся на пороге то, очевидно, требуется, чтобы «с Если частицы, образующиеся на этом пороге (рис. 8.15), лежат на траекториях а то для скалярных частиц должно быть Подставляя это в формулу (8.3.26) при получаем

так что точка ветвления сокращается на пороге с фиксированным полюсом. Если теперь продолжить по до значений, где равно целому числу, большему О, то самый правый полюс Грибова — Померанчука в амплитуде диаграммы, изображенной на рис. 8.15, а, будет находиться в точке , так как а, — это наибольшее возможное значение спиральности частицы со спином и ясно, что реджеонная точка ветвления находится на нужном месте, чтобы не возникало противоречия с унитарностью. Разумеется, полная структура разреза существенно более сложна, чем указано в этом кратком рассмотрении, в частности для случая неравных масс [325, 357].

В -плоскости точка ветвления возникает при где определяется так, что

Поэтому из Когда увеличивается от точки — 1, то 4 движется вдоль упругого разреза, пока не достигнет первого неупругого разреза после чего проходит под неупругим разрезом на нефизический лист. Таким образом, имеет точку ветвления при когда а скачок на разрезе имеет здесь же точку ветвления.

Эта связь между полюсами Грибова-Померанчука и разрезами, конечно, не случайна. Она обусловлена тем, что разрезы возникают из-за фиксированных полюсов в диаграмме креста вершины (см. рис. 8.6, д) благодаря условию унитарности. В работах [270, 325] показано, как все это происходит в теории возмущений. Если записать крест в виде:

то диаграмма следующего порядка равна

скачок на разрезе должен содержать фиксированный полюс, так что

где множитель, возникающий из-за фазового объема. Таким образом, из этих двух диаграмм выше порога получаем

а ниже порога

Кажется, что это выражение дает полюс второго порядка, но, используя условие унитарности [как, например, (2.2.7), положив в нем получаем

Так что если во всех порядках

то

содержит последовательность многократных полюсов, которая суммируется и приводит к конечному значению при —1. Последовательность разрезов, показанная на рис. 8.16, приводит к фиксированному полюсу на физическом листе и не дает никакой другой особенности. Ясно, что такие разрезы валшы в случае, когда

Рис. 8.16. -Канальная итерация двухреджеонного разреза

продолжение угловому моменту совместимо с условием -канальной унитарности в любой теории, в которой имеется третья спектральная функция

Однако если наличие этого скачка через разрез совместимо с упругим условием унитарности в -канале (8.3.33), то нужно, чтобы при [66]:

Таким образом,

т. е. скачок на реджевском разрезе должен обращаться в нуль в точке ветвления. Для разреза (8.3.8) это не так, как было видно из (8.2.16):

[из выражения (2.7.4)]. Конечно же, логарифм имеет конечный скачок, равный , при переходе с одного листа на другой в точке Однако -канальная унитарность требует включения всей последовательности разрезов, показанных на рис. 8.16, и таким образом вершина в (8.3.8) сама будет содержать двухреджеонный разрез (см. рис. 8.14, б) и поэтому будет удовлетворять условию унитарности [406]

или

так что

т. е.

что при подстановке в (8.3.16) дает

При подстановке в (2.7.8) это дает

где сделаны удачные подстановки Поскольку меняется с увеличением s очень медленно, эта поправка не очень важна на практике, но нужно помнить, что совместимость с -канальной унитарностью требует учета не только диаграммы рис. 8.15, но и всей бесконечной суммы, показанной на рис. 8.16. Для трех и большего числа реджеонных разрезов унитаризация приводит к еще меньшему отличию, так как выражение (8.3.20) дает что при уже имеет скачок, обращающийся в нуль в точке ветвления, и при подстановке в (2.7.4) приводит к асимптотическому поведению вида