6.6. Теоретико-групповые методы

Проблемы, связанные с введением дочерних траекторий и конспираций, возникают из-за того, что вследствие соотношения (6.5.2) функции вращения не подходят для представления амплитуды рассеяния при Работы Толлера [382, 383] и других привели к несколько более общей точке зрения на эти трудности.

При написании ряда по парциальным волнам (4.4.14) мы разлагали амплитуду рассеяния по функциям, являющимся представлением трехмерной группы вращений или, более точно, поскольку был включен полуцелый спин, накрывающей группы Группа вращения является так называемой «малой группой» неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре т. е. группы преобразований, оставляющих инвариантными полный 4-импульс входящих и выходяших частиц -канале) [305] и [62]

Разумеется, угловой момент является оператором Казимира малой группы, а также есть инвариант Казимира группы

Однако Вигнер [411] показал, что хотя и является малой группой для но в действительности существуют четыре различных класса представлений описывающихся различными значениями Вот они

I. Времениподобный класс, малая группа .

II. Пространственноподобный класс, малая группа .

III. Световой конус, малая группа Начало координат, малая группа Здесь группа вращений в пространстве трех действительных измерений с инвариантом группа вращений в пространстве двух вещественных и одного мнимого измерения

с инвариантом группа евклидовых преобразований в двух измерениях; группа вращений в пространстве трех действительных и одного мнимого измерений с инвариантом изоморфная группа Лоренца.

Функции образуют представление группы Эти же функции но с взятом при нефизических значениях, соответствующих образуют представления группы Баргманн [38], показал, что функция, квадратично интегрируемая на групповом многообразии, может быть разложена в ряд по представлениям группы; так, амплитуда рассеяния, разложенная в этом базисе, имеет вид [60, 259]

т. е. выражение (4.6.2) без реджевских полюсов и разрезов в области . Так получается из-за того, что условия квадратичной интегрируемости требуют, чтобы

Таким образом, представление Зоммерфельда-Ватсона можно рассматривать как разложение по представлениям группы Однако эта эквивалентность неполна, так как представление Зоммерфельда-Ватсона справедливо для всех а не только в области . К тому же оно справедливо и для нерелятивистского потенциального рассеяния, которое при обладает симметрией группы а не а представления имеют совершенно иной вид [245, 285]. И, конечно же, представление Зоммерфельда-Ватсона при с учетом реджевских особенностей является аналитическим продолжением выражения (6.6.2) по Но если отвлечься от этих различий, то можно переформулировать теорию Редже как разложение по группе

Из-за условий массовой поверхности и других равенств равенство приводит к тому, что отдельные проекции равны нулю в (6.6.1) только тогда, когда так что будет ли малой группой при или зависит от того, равны или не равны друг другу массы частиц.

Если массы равны, то амплитуда может быть разложена по функциям, являющимся представлением группы которые могут быть обозначены как Они были получены в работе [360] и зависят от двух операторов Казимира, один из них число введенное в (6.5.10), которое в зависимости от фермионного числа может принимать значения или а другим является чисто мнимое число Этот дополнительный оператор Казимира появляется из-за того, что в случае равных масс у решений, удовлетворяющих уравнению имеются две степени

свободы. Вторая степень свободы отвечает изменению Разложенная в этом базисе амплитуда имеет вид

где парциальные амплитуды на группе , а и при суммировании

При остаются только амплитуды без переворота спина Если предположим, что, например, при имеется полюс Толлера [как в выражении (6.6.2) может быть реджевский полюс при то аналитическое продолжение по а приводит к

где (6.6.3) означает правую часть выражения (6.6.3), число Толлера для полюса. Так как известно, что

то из (6.6.4) получаем

Если сравнить с (6.3.7), вспоминая (6.5.11), то становится ясно, что это поведение отвечает реджевскому полюсу с а и числом Толлера Конечно, если разложить функции, образующие представление группы по функциям то видно [360], что единичный полюс Толлера в -плоскости при соответствует бесконечной последовательности реджевских полюсов в -плоскости при где

т. е. конспирирующей последовательности дочерних траекторий с числом Толлера Когда мы уходим из точки -симметрия нарушается так, что дочерние траектории не должны отличаться от родительской на целое число, как в (6.6.7).

Очевидно, что этот аргумент неприменим в случае неравных масс, так как представления группы сильно отличаются от представлений так что для подтверждения существования толлеровских полюсов в этом случае необходимо провести продолжение по массам [50, 144, 267]. Разумеется, наблюдаемое отсутствие конспираций, отмеченное в предыдущем разделе, заставляет подозревать, что при не использована действительная степень свободы, отвечающая изменению величины в (6.6.3). Единственный полюс Редже при соответствует бесконечной последовательности конспирирующих. полюсов Толлера в -плоскости (совершенно аналогично

соотношению между полюсами в и -плоскостях, приведенному в разд. 2.10), так что отсутствие конспирирующих траекторий, возможно, отражает первостепенное значение -плоскости по сравнению с -плоскостью. Если это так, то развитая в этом разделе техника теории групп как будто не будет давать значительных преимуществ по сравнению с методом Зоммерфельда-Ватсона, используемым в этой книге.