2.10. Преобразование Меллина

В дальнейшем нам очень часто придется сталкиваться только с главным членом асимптотики по s амплитуды рассеяния. В этом случае можно сильно упростить вид многих выражений, заменив при и соответственно функции Лежандра их асимптотикой

Таким образом, -канальное разложение по парциальным волнам (2.5.6) превратится в разложение амплитуды по степеням

Если, в свою очередь, разложить в ряд по s дисперсионное соотношение (2.5.8)

то, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s в этом выражении и в (2.10.1), найдем, что

Эти коэффициенты соответствуют тому, что в представлении Грибова—Фруассара (2.5.3) в функциях Лежандра оставлен только главный член по Так как мы рассматриваем главные члены асимптотики, то положение порога не очень существенно, и поэтому мы сильно не ошибемся, если вместо (2.10.3) напишем

Написанное выражение является просто преобразованием Меллина функции (см. [380, с. 7]). Сделав преобразование Меллина, получим

причем контур интегрирования проходит по линии, параллельной мнимой оси правее всех сингулярностей по функции Теперь возьмем только главный член асимптотики по функции Лежандра в разложении Зоммерфельда — Ватсона (2.7). Тогда

Если теперь вспомнить поведение скачка:

и ввести множитель в определение то сразу становится очевидным, что выражение (2.10.6) согласуется с (2.10.5). Контур в (2.10.6) может быть трансформирован в контур в (2.10.5), но если как следует из (2.10.3) [см. (2.7.2)], будет иметь полюс при Вклад этого полюса должен быть добавлен к (2.10.5) аналогично тому, как это было сделано в (2.7.8). Следовательно, полюса Редже, лежащие в плоскости I, приводят к возникновению полюсов в плоскости Однако так как функция Лежандра может быть разложена в ряд по степеням в котором дает только первый член этого разложения, то данный полюс Редже будет приводить к целому набору полюсов, лежащих в плоскости при при и соответственно наоборот. Однако до тех пор, пока мы будем касаться только лидирующего поведения всех величин в асимптотике по нас не будет интересовать это неоднозначное соответствие между полюсами I- и -пло-скостей.

Сравним аналитические сюйства (2.10.6) и полюсного члена в (2.7.8). Аналитические свойства этих выражений несколько различаются: в (2.10.6) имеется разрез от в то время как полюсной член в (2.7.8) имеет разрез при [см. например при — в случае кинематики с равными массами, как это следует из (1.7.22). Конечно, ни первый, ни второй разрезы не соответствуют истинному разрезу амплитуды рассеяния, так как мы знаем, что истинный разрез начинается от порога, т. е. от -Это противоречие легко устраняется, так как известно, что имеются сокращения между скачками полюсных членов и фоновым интегралом в областях соответственно. В гл. 6 будет показано, что замена на s при кинематике с неравными массами является не совсем тривиальной процедурой. Но при условии, что все эти моменты имеются в виду, часто значительно более удобно использовать выражения (2.10.4) и (2.10.5), а не точные выражения.