10.4. Обобщенная оптическая теорема Мюллера

В разд. 1.9, а графически на рис. 1.6 мы дали вывод оптической теоремы, связывающей полное сечение с мнимой частью амплитуды упругого рассеяния вперед Мюллер [314] получил обобщение этого результата, которое является основой реджевских предсказаний для инклюзивных распределений. Его результат (рис. 10.8) гласит:

где амплитуда процесса

В качестве первого шага используем соотношение полноты для величины На втором шаге используем кроссинговое свойство амплитуды, изложенное в разд. 1.6, об аналитическом продолжении амплитуды, с помощью которого выходящая частица 3 заменяется входящей частицей 3; затем используется соотношение унитарности (1.9.3), чтобы связать инклюзивное сечение со скачком амплитуды упругого рассеяния вперед процесса по переменной

Здесь

т.е. скачок берется на разрезе от точки ветвления в плоскости однако при этом необходимо находиться по одну и ту же сторону от разрезов по переменным Поскольку конечное состояние должно быть идентичным начальному, то мы должны иметь [где ] точно так же, как необходимо, чтобы в выражении (1.9.6).

Рис. 10.8. Вывод теоремы Мюллера: а — Определение функции где множитель имеет смысл потока (1.8.4). Для того чтобы получить это представление используется соотношение полноты, тогда как рис. в получается с помощью кроссинга частиц рис. возникает как условие унитарности для амплитуды появляется как следсггвие определения (10.4.2)

Очевидная трудность, связанная с этим выводом оптической теоремы, не показанная на рис. 1.6, состоит в том, что мы должны делать аналитическое продолжение по чтобы получить нефизическую амплитуду рассеяния А (123). Поэтому мы не можем быть уверены в том, что не будет изменяться при этом скачок. Скачок (10.4.2) через разрез по переменной берется по одну и ту же сторону от разрезов по переменной в то время как следует из рис. 10.8, б, что мы находимся выше порогового разреза по этой переменной в амплитуде А, однако ниже него в Независимость от скачков нормальных порогов, упомянутая в разд. 9.3, гарантирует, что скачок по одной переменной не оказывает никакого влияния, когда берется скачок по другой переменной, однако аномальные пороги и т. п. могли бы испортить результат. Однако общее мнение специалистов склоняется к тому, что это будет маловероятным (см. [71, 72, 336]).

Тем не менее ясно, что обобщение более трудно использовать, чем обычную оптическую теорему, потому что в (1.9.6) полное сечение при заданных связывается с упругой амплитудой при тех же самых физических значениях в то время как соотношение (10.4.1) связывает инклюзивное распределение для процесса с (в любом случае неизмеримым) процессом в

нефизической области Однако, даже если мы не можем измерить А (123), можно, конечно, написать для нее реджевскую параметризацию, также как мы использовали реджевские параметры для (12), чтобы предсказать поведение в (6.8.4). о является именно тем, что позволяет использовать инклюзивные реакции для проверки основ реджевской теории, как будет видно в следующих разделах.

До сих пор мы пренебрегали спинами частиц. Для того чтобы получить более точные выражения, нужно провести усреднение по всем возможным спиральностям частиц 1 и 2 и просуммировать по спиральностям частицы 3. Таким образом, (10.3.2) дает

при помощи оптической теоремы (10.4.1). До сих пор, однако, сделано довольно мало измерений поляризации и матриц плотности в инклюзивных реакциях. Поэтому в дальнейшем будем просто пренебрегать спином, подразумевая, строго говоря, что в каждой редокеонной вершине проведено усреднение по всевозможным различным спиральностям. Если, например, частица 3 имеет спин 1/2, то ее поляризация дается следующим выражением [ср. (4.2.22)]:

где Инклюзивные матрицы плотности могут быть определены подобно (4.2.10) и ясно, что они будут давать информацию о спиральной забисимости связей реджеонов с частицами [198, 331].