9.4. Многочастичные дуальные модели

В гл. 7 была сформулирована идея дуальности: реджевские полюса в -канале уже включают в себя резонансные полюса в s-канале по меньшей мере в некотором усредненном смысле и, таким образом, ошибочно пытаться добавить один вклад к другому. Модель Венециано, аналогичная (7.4.4), которая будет рассматриваться в этом разделе, определяется амплитудой

является конкретной, хотя и не единственной, реализацией этого свойства и обладает реджевским поведением как и при и фиксированном так и при и фиксированном Этот результат можно обобщить на случай многочастичных амплитуд [392, 358, 299].

Кажется ясным, что это сделать вполне возможно. Для этого достаточно вспомнить пример на рис. 9.4, а, в котором система (15) считалась одной частицей, и выбрать такое положительное значение что равна целому числу своей сигнатуры, тогда мы имеем физический процесс 2-2, который, по-видимому, можно рассмотреть с дуальной точки зрения.

Первое, что хотелось бы отметить, — это то, что при рассеянии 2-2 имеются различные дуальные амплитуды, отвечающие каждая своему способу планарного упорядочения частиц (см. рис. 7.7).

Рис. 9.9. Три неэквивалентных планарных упорядочения частиц, которые дают три члена в амплитуде Венециано для процесса подобно (7.4.17)

Таким образом, член представляется диаграммой рис. 9.9, а, для которого замена требует только циклической перестановки частиц 1, 2, 3, 4. Но так как замена s и требует нециклической перестановки, то возникает член (рис. 9.9, б), который должен быть добавлен в амплитуду отдельно. Аналогично должен быть добавлен член

Рис. 9.10. Три различных реджеонных амплитуды, которые характеризуются одним и тем же планарным циклическим упорядочением частиц и представляются одной дуальной амплитудой

Обобщая эту идею планарной дуальности на трехчастичные конечные состояния, можно ожидать, что набор диаграмм рис. 9.10, которые все имеют одинаковое циклическое упорядочение частиц будет содержать только дуальные друг другу диаграммы, кроме этого существуют и другие наборы диаграмм, каждому из которых отвечает отдельный дуальный член в качестве примера можно рассмотреть набор диаграмм, показанный на рис. 9.11). Всего для реакций имеется 12 неэквивалентных упорядочений частиц и, следовательно, в амплитуде содержится 12 дуальных членов. Во-вторых, два реджеона изображенных на рис. 9.10, а, зависят от совершенно не связанных переменных по этой причине совершенно очевидно, что они не могут быть дуальны друг другу. Реджеоны в перекрывающихся каналах типа и

которые содержат общую частицу 3 (см. рис. 9.10, б, в), будут дуальны друг другу.

Для того чтобы расширить сферу применимости (9.4.1), начнем с того, что перепишем его в виде

где известная бета-функция Эйлера [389; 292, с. 4]. Этот интеграл определен только в области а Если, скажем, то имеем

Следовательно, из-за расходимости подынтегрального выражения при возникает полюс при Эту сингулярность легко выделить, если произвести интегрирование по частям

Это выражение имеет полюс при и определено уже при . Конечно, в области функция В имеет еще полюса.

Рис. 9.11. Некоторые реджеониые амплитуды, которые дуальны одна другой, на не соответствуют изображенным на рис. 9.10

Если повторить этот процесс несколько раз, то получится последовательность полюсов при Их можно получить и сразу, если разложить в ряд подьштегральное выражение

где

Тогда интегрированием каждого члена получаем

Итак, если траектория а линейна, то вычет в полюсе при представляет собой полином по (и, следовательно, по степени

Симметрия выражения (9.4.2) относительно замены на а и наоборот обеспечивает то, что каналы s и которые связаны циклическим переопределением частиц имеют идентичные полюса; из-за того, что полюса по возникают на другом конце области интегрирования при мы избегаем одновременных полюсов по Очень полезно переписать (9.4.2) в следующем виде:

где каждая переменная соотнесена с каждым данным каналом, который содержит полюс, возникающий при Однако для того чтобы быть уверенным, что в перекрывающихся каналах не возникает одновременных полюсов, вводится -функция. Также вполне возможно ввести в подынтегральное выражение (9.4.7) произвольную функцию аналитическую в области которая при разложении в степенные ряды по различным х давала бы последовательность членов типа «сателлитов» Венециано (7.4.15).

Выражение для пятичастичной амплитуды (см. рис. 9.10) можно написать аналогично предыдущему [31, 394]:

Это выражение имеет полюса для каждого из возможных спариваний внешних частиц (в данной планарной конфигурации). Функцию нужно выбирать так, чтобы отсутствовали одновременные полюса в перекрывающихся каналах, подобных, например, каналам таким образом, необходимо устранить возможность одновременного обращения в нуль переменных Итак, необходимо потребовать, чтобы функция обращалась в нуль в тех случаях, когда

Выражение (9.4.9) содержит пять уравнений для Пяти неизвестных, однако не все эти уравнения независимы, и, фактически, два неизвестных являются произвольными. Обычно в качестве свободных переменных берут и 15. Тогда уравнение дает выражение для в терминах этих переменных, а уравнения дают

соответственно; уравнения с превращаются в тождества, если в них подставить упомянутые выше результаты. Итак, исходя из уравнений можно написать выражения для функции

Чтобы получить члены типа сателлитов, мы должны умножить это выражение на любую, аналитическую по всем переменным х функцию. Эти -функции позволяют произвести интегрирование по переменным Ответ имеет вид

или

Полная пятиточечная дуальная амплитуда содержит сумму 12 членов, аналогичных (9.4.12) и отвечающих различным планарным упорядочиваниям внешних частиц. Эти члены необходимы, чтобы придать реджеонам сигнатуру, аналогично тому, как, например, свойства сигнатуры реджеонов а требуют присутствия четырех диаграмм рис. 9.8.

Чтобы исследовать полюса этой амплитуды, положим

Напишем разложение

а затем почленно проинтегрируем и в результате имеем [234]

Если теперь разложить первую В таким же образом, как и в (9.4.6), то

Следовательно, получаем, что вычет в полюсе а является по переменной полиномом степени кроме того, имеем целую последовательность дочерних траекторий со спинами

Вычет содержит также амплитуду Венециано для четырехчастичной реакции как это и ожидалось из факторизации на рис. 9.10, а. Однако в то время как высшая траектория содержит только резонансы при а все дочерние траектории являются многократно вырожденными [181, 182] и, таким образом, свойство факторизации амплитуды справедливо только для лидирующей траектории. Если теперь исключить сателлиты Венециано, то спектр дочерних траекторий получается наиболее простым, насколько это возможно [212], но тем не менее он содержит очень большое число частиц. Фактически, при некотором заданном значении число уровней дается числом способов, которыми можно выбрать неотрицательные числа удовлетворяющие условию В случае больших это число растет как Конечно, то, как относиться к этому результату, — спорный вопрос: нужно ли считать этот результат предсказанием модели либо это просто отражение того факта, что мы нереалистическим образом стараемся аппроксимировать разрез, идущий от точки ветвления, последовательностью полюсов.

Для того чтобы получить двухреджеонный предел (9.4.12), сделаем замену:

Тогда

и, следовательно,

Это соотношение имеет вид двухреджеонного предела (9.3.10) с явным выражением для зависимости от угла Толлера в которая, как можно показать [151], будет следующей:

Аналогичная зависимость наблюдается и для где

Рис. 9.12. а — Амплитуда процесса с циклическим упорядочением частиц, б - Обмен траекторией в — Переменные

Для того чтобы обобщить (9.4.8) на случай -частичной амплитуды, для данного циклического переобозначения всех внешних частиц (рис. 9.12, а) напишем [87, 263]

причем полная амплитуда будет являться суммой членов, отвечающих всем неэквивалентным, нециклическим перестановкам внешних частиц. Данная будет зависеть от инварианта канала

как показано на рис. 9.12, б. Для того чтобы помешать возникновению одновременных полюсов в перекрывающихся каналах, в функцию вводится множитель

где индекс отвечает каналу, перекрывающемуся с каналом Чтобы это показать, введем переменных

как показано на рис. 9.12, в. Все переменные х с другими индексами связаны с этими следующим образом [95]:

где

Тогда находим, что ограничение (9.4.20) можно учесть, написав

В случае это выражение соответствует (9.4.12) и окончательный вид мультиреджевской асимптотики, отвечающий ситуации, показан на рис. 9.12, в;

где функции V даются (9.4.17). Это выражение находится в соответствии с (9.3.10), естественно, с оговоркой, что в нашей единственной планарной амплитуде отсутствуют сигнатурные факторы.

В многочастичные дуальные модели можно также ввести и внутреннюю симметрию. Это достигается включением кварковой структуры мезонов таким же способом, как это было сделано в разд. 7.5 [92].

Каждый мезон представляется матрицей, строки которой соответствуют кварковым индексам, а столбцы — антикварковым. Если рассмотреть только изотопическую симметрию, то, так как кварки являются изодублетами (5.2.2), мезон будет представляться матрицей в случае если мезон является изоскаляром [см. (5.2.7)], то эта матрица просто -функция Кронеккера, и если мезон изовекторный то он представляется изоспиновыми матрицами Паули где в зависимости от компоненты изотриплета [см. (5.2.8)]. Ясно, что значения полного изоспина могут равняться О и 1, так как только эти значения могут получаться при сложении двух изоспинов 1/2, отвечающих кваркам. В противном случае возникают экзотические состояния, которые нежелательны. Удобно ввести обозначение с тем, чтобы набор ) включал все четыре возможных изоспиновых состояния, в которых частица может находиться.

Сформулируем правило Чана — Патона, дающее рецепт введения изоспина в многочастичную дуальную амплитуду: для того чтобы включить изоспин в амплитуду отвечающую данному

циклическому упорядочиванию частиц необходимо умножить на фактор под обозначением понимается взятие шпура матрицы). Этот фактор обладает точно такой же симметрией относительно циклических перестановок, что и и дает правильную структуру без какой-либо экзотики в любом промежуточном состоянии. Это можно увидеть, если рассмотреть обмен некоторой частицей рис. 9.12, в);

Очевидно, что имеются желаемая факторизация и правильные изотопические зависимости в вычетах частицы причем наблюдается обменное вырождение между частицами с Все эти результаты можно распространить с группы на просто заменяя матрицы на матрицы из табл. 5.1. Конечно, этот метод применим только в пределе точного -вырождения, что очень далеко от реального эксперимента.

За последние несколько лет этот дуальный формализм претерпел некоторые изменения и получил значительное развитие в различных направлениях, которые не найдут сколь-нибудь подробного отражения в этой книге. Читатель, который пожелает изучить и разобраться во всем этом, может найти все необходимое в таких прекрасных обзорах, как следующие: [299, 358, 359, 392].

Как уже упоминали в разд. 3.3, в релятивистском гармоническом осцилляторном потенциале возникают прямолинейные траектории, подобные тем, которые имеются в дуальной модели. Доказано, что можно перевыразить дуальную модель в терминах операторного формализма, в котором состояния, отвечающие частицам, производятся бесконечным набором гармонических осцилляторных операторов рождения действующих на основное вакуумное состояние [181,183, 184]. При этом подходе, конечно, много проще обсуждать такие свойства, как резонансный спектр и, в частности, вырождение дочерних траекторий. Однако имеется фундаментальная проблема, заключающаяся в том, что для обеспечения лоренц-ковариантности теории необходимо, чтобы операторы рождения были четырехмерными Однако включение временной координаты приводит к возникновению так называемых духовых состояний, которые имеют отрицательные вычеты и таким образом нарушают причинность (см. разд. 1.4). Аналогичная проблема существует и в электродинамике, когда рождаются временииодобные фотоны. Однако трудности легко преодолеваются, так как введение лоренцевой калибровки гарантирует исчезновение духовых состояний [51]. Возможно, это следствие того, что из-за безмассовой природы фотона не бывает продольных и скалярных квантов (т. е. разрешена спиральность и запрещена

Подобным образом в дуальных моделях было найдено, что если а для лидирующей траектории, то можно наложить бесконечный ряд калибровочных условий, которые устраняют все духи. Однако этот факт справедлив только в -мерном пространстве-времени. Естественно, это ограничение является нефизическим и совершенно невозможно рассматривать эту модель как прототип реальной физической картины даже в «мероморфном пределе». Однако это означает, что полученная дуальная теория поля близко связана с другими полевыми теориями, в которых имеются безмассовые частицы, в частности, с квантовой электродинамикой с безмассовыми электронами и фотонами, теорией Янга-Миллса, квантовой гравитацией с безмассовыми гравитонами со спином равным 2.

Рис. 9.13. а — Вращающаяся струна с кварками на концах, Вибрационная мода струны, а — Мировая поверхность вращающейся струны, Взаимодействие двух струн, Неперенормируемая петля во взаимодействии двух струн. Труба (цилиндр), отвечающая померону. Состояние замкнутой струны с наивысшим угловым моментом

Фактически, эти полевые теории могут быть получены как различные пределы дуальной теории поля, когда наклон траектории [393].

Другим, отчетливо представляемым направлением развития этого операторного формализма является описание движения квантованной безмассовой релятивистской струны [193, 298, 359]. Мезон можно представить как движущуюся струну со свободными концами, испытывающую внутреннее растягивающее напряжение из-за центробежной силы, обусловленной вращением струны (рис. 9.13). Максимальный угловой момент при данной энергии возникает, когда струна абсолютно жесткая, как показано на рис. 9.13, а, и просто вращается, в то время как меньшие угловые моменты при той же самой энергии имеют состояния, обладающие также вибрационными модами (подобно скрипичной струне), которые кратны некоторой фундаментальной частоте вращения. Эти вибрационные моды ответственны за возникновение дочернего спектра при данной массе. Если ввести в рассмотрение еще внутреннюю симметрию, то можно вообразить, что струна связывает кварки, расположенные на ее концах.

Движение струны во времени будет характеризоваться мйровой поверхностью, похожей на перекрученную ленту (см. рис. 9.13, в). Калибровочные условия оказываются эквивалентны требованию, что возникают только перпендикулярные мировой поверхности вибрации. Согласованную унитарную квантовую теорию такой струны можно построить, только если а размерность пространства — времени равна 26.

Можно нарисовать картину, как эти струны взаимодействуют (см. рис. 9.13, г). Эта картина очень похожа на дуальную диаграмму рис. 7.7, а [326]. Для того чтобы унитаризовать эту теорию, необходимо, конечно, включить в рассмотрение петли, подобные изображенным на рис. 9.13, д, но такие петли дают бесконечный вклад, который не поддается рассмотрению в рамках обычной техники перенормировок стандартной квантовой теории поля, из-за того что есть бесконечный набор промежуточных состояний. Однако имеется также и другой тип петель, а именно трубы (см. рис. 9.13, е), которые представляют мировую поверхность замкнутой струны. Максимальный угловой момент такой замкнутой струны при данной энергии возникает, когда она стремится деформироваться, как показано на рис. 9.13, ж, причем этот момент равен удвоенному угловому моменту соответствующей открытой струны, т. е. а Фактически, можно показать, что

где а — наклон, который отвечает траектории, соответствующей открытой струне. Поскольку замкнутая струна не имеет концов, то она может не нести кварков, и таким образом имеет квантовые числа вакуума и может ассоциироваться с помероном. Тот факт, что ее пересечение равно 2, а не единице, приводит к другой трудности, однако если пересечение обычных реджеонов можно положить равным а то померон имел бы в этом случае пересечение равное единице, как этого хотелось бы. В пределе нулевого наклона померонная теория поля приводит к гравитону.

Эта дуальная теория поля могла бы являться первым приближением к фундаментальной теории сильных взаимодействий, в которой дуальные реджеоны играют центральную роль. Однако то, что в теории встречаются только траектории с целыми пересечениями, что она справедлива только в пространстве—времени с высокой размерностью (хотя имеются некоторые варианты теории, в которых может быть уменьшено с 26 до 10) и непонятно, каким образом выполнить перенормировку, — все это заставляет нас воздержаться от каких-либо высказываний по ее поводу и, поэтому мы не будем больше возвращаться к этой теории в дальнейшем.