12.4. Фиксированные полюса

Диаграммы рис. 12.1 и 12.3 отличаются от амплитуд адронного рассеяния тем (хотя и предполагается, что блоки содержат полный набор адронных особенностей, требуемых унитарностью), что слабая константа связи или фермиевская константа слабого взаимодействия) появляется только в первом порядке.

Рис. 12.5. Условие унитарности для амплитуды с учетом членов высшего порядка по слабой константе связч

Фотон (или -бозон) является внешней частицей по отношению к блоку сильных взаимодействий. Поэтому, например, условие унитарности для амплитуды (рис. 12.5) обычно записывается в виде

как сумма по одним только адронным промежуточным состояниям. Если включить также наряду с другими членами правой части рис. 12.5 и фотон, то получим

лричем члены во второй сумме будут меньше членов в первой на дополнительный множитель а в случае слабых взаимодействий) и поэтому ими в общем случае пренебрегаем. Таким образом, если ограничиться, оставаясь ниже неупругого порога, только двухчастичными промежуточными состояниями пока энергия процесса ниже порога образования системы и разложить амплитуду в ряд по парциальным волнам, то вместо выражения (4.7) получим

где . Аналогичное уравнение выполняется в -канале для процесса

Рис. 12.6. Двухчастичное условие унитарности для амплитуды процесса ниже неупругого порога

Тот факт, что амплитуда в правой части (12.4.3) появляется только в первой степени, означает, что теоремы разд. 4.7 об отсутствии фиксированных полюсов на вещественной оси (за исключением полюсов в нефизических точках чужой сигнатуры, накрытых разрезами) не справедливы для этих слабых амплитуд. Поэтому в точках своей сигнатуры могут существовать фиксированные полюса, и в этом случае они будут давать вклад в асимптотическое поведение амплитуды. Другими словами, сверхсходящиеся соотношения, которые должны существовать для адронных амплитуд, чтобы предотвратить появление таких полюсов, не должны выполняться в слабых амплитудах.

В работах [66, 362] было показано, что алгебра токов предсказывает появление таких полюсов. (Введение в алгебру токов см. в книгах [341] или Это получается потому, что алгебра токов связывает значение константы связи с током с двухтоковой амплитудой; в частности, для амплитуды процесса (рис. 12.7) она дает [180, 142]

где изовекторный фотон; 2 — бесспиновая частица [можно сматривать выражение (12.4.4) как результат усреднения по спину]; изовекторный форм-фактор частицы 2; скачок по s части с нечетной сигнатурой приведенной -канальнсш спиральной амплитуды процесса

Это спиральная амплитуда, множитель половинного угла которой равен

[см. (4.4.1), где так что или 2] и изоспин в -канале равен 1. Мы ожидаем, что основной обмен дается -траекторией. Это так, потому что мы имеем дело с изовекторными (заряженными) фотонами: для реальных фотонов -обмен запрещен зарядовым сопряжением.

Рис. 12.7. а — Комптоновское рассеяние виртуального фотона . б - Приближение к амплитуде, основанное на обмене -полюсом. в — Вклад -полюса в электромагнитный формфактор частицы 2

Так, для т. е. мы ожидаем, что при подстановке в выражение дает

так что форм фактор имеет полюс при массе -мезона, что изображено на рис. Однако точка есть фн-точка для этой амплитуды и можно ожидать, что будет выполняться сверхсходящееся соотношение. Если частицы — протоны и значение зафиксировано и равно 0, а в этой точке благодаря оптической теореме (1.9.6) можно заменить на то сверхсходящееся соотношение принимает вид

где есть полные -сечения с параллельными и антипараллельными (соответственно) спинами; аномальный магнитный момент протона (т. е. форм-фактор при Уравнение (12.4.7) — это известное правило сумм Дрелла — Харна [148], которое хорошо выполняется на опыте и показывает, что в вычете -полюса нефизический множитель сокращает знаменатель выражения (12.4.6).

Левая часть (12.4.4) есть вычет фиксированного полюса в -точке поскольку форм-фактор не обращается в нуль, алгебра

токов предсказывает, что должен быть фиксированный полюс своей сигнатуры, который дает вклад в асимптотическое поведение амплитуды

Таким образом, амплитуда с отрицательной сигнатурой ведет себя как

Итак, существует движущийся полюс Редже и фиксированный полюс в точке но нет особенности в точке потому что если ведет себя как указывает выражение (12.4.6), то два члена в формуле (12.4.9) сокращаются.

Алгебра токов предсказывает, что в нефизических точках своей сигнатуры будут фиксированные полюса, которые не будут давать вклад в следовательно, не будут влиять на полные сечения, но будут существенны для асимптотики действительной части амплитуды. Это едва ли удивительно, потому что из рис. 12.7, в видно, что -мезон связан с током, спин которого фиксирован.

Но тогда возникает вопрос, что было бы, если бы мы рассмотрели не только первый порядок по а просуммировали бы все порядки в -канальном условии унитарности, аналогичном (12.4.2). Рассмотрение теорий с малой константой связи (3.4.17) подсказывает, что фиксированный полюс в точке должен превратиться в движущийся полюс Редже, положение которого стремится к 1, когда т. е.

где — некоторая функция от похожая на (3.4.19), порядка 1. Итак, мы получили траекторию с наклоном Такая траектория не видна в асимптотике амплитуд и не проявляет себя в массах частиц. Если же, в противоположном слзае, полюс останется неподвижным, то он должен дать кронекеровские члены в -амплитудах, как это было описано в предыдущем разделе. Все это подсказывает, что алгебра токов может быть несправедлива, хотя мы в действительности не знаем, как поступать с фотоном с нулевой массой в промежуточном состоянии.

Конечно же, фиксированные полюса существуют в точках чужой сигнатуры и, разумеется, полюс в точке может быть важен в асимптотическом поведении амплитуды комптоновского рассеяния с четной сигнатурой [1,2]. Для процесса (где — бесспиновая частица) существуют две независимых s-канальных спиральных амплитуды Спиральная матрица кроссинга, аналогичная (4.3.4) [14], связывает эти

амплитуды спиральными амплитудами -канального процесса В точке эта связь имеет простой вид:

и, поскольку амплитуда с переворотом спина должна обращаться в нуль в точке вследствие закона сохранения углового момента, остается только амплитуда Для этой амплитуды точка есть -точка.

Рис. 12.8. а - s-Канальный борновский член в процессе б - Другие s-канальные промежуточные состояния, дающие вклад в при выше неупругого порога

Основным обменом с четной сигнатурой в этой упругой амплитуде будет обмен помероном, так что если и вычет -полюса имеет нефизический множитель, обращающийся в нуль в точке то вклад -полюса в амплитуду будет обращаться в нуль при Оптическая теорема дает

так что при обращении в нуль вычета -полюса при чем отличается от других полных сечений.

Однако это совершенно противоречит замечанию в разд. 12.2 о том, что фотон при высоких энергиях ведет себя как адрон, и наблюдаемому приблизительному постоянству при больших Поэтому либо существует фиксированный полюс Грибова — Померанчука в точке который перемещает обращающийся в нуль множитель (см. табл. 6.2) и в этом случае определяется только третьей спектральной функцией, что кажется довольно маловероятным, либо вычет -полюса имеет особенность в токе В действительности вычет фиксированного полюса в точке в представлении Грибова — Фруассара для амплитуды с может быть записан в виде

где константа; неупругий порог. Кинематический множитель из борновской диаграммы, показанной на рис. 12.8, получается вследствие кинематики безмассового фотона из (1.7.15)]. Поэтому если обращается в нуль, то вычет -полюса в должен вести себя как так что правая часть также может обратиться в нуль. Ясно, что выделенная точка, потому что

она совпадает с порогом начального состояния в процессе а фотонные амплитуды могут иметь необычное пороговое поведение (см. [123] и далее). Более полное обсуждение этого вопроса см. в работе [272].

Предполагалось также, что в -точке этой амплитуды может быть также фиксированный полюс [140]. Поскольку точка есть точка своей сигнатуры, то это приводило бы к действительному постоянному вкладу в амплитуду комптоновского рассеяния

где обычные амплитуды обмена реджеонами вклад фиксированного полюса, не зависящий от s при всех Гилман с сотрудниками провели подгонку дифференциального сечения рассеяния вперед при и получили, что такая действительная часть необходима. Они положили

что является томпсоновским выражением для амплитуды комптоновского рассеяния на протоне при нулевой энергии фотона, когда структура протона еще не проявляется. Однако изменение значений траекторий в нуле может привести к исчезновению постоянного члена [115], так что пока нет убедительных свидетельств в пользу существования фиксированного полюса (см. также работы [63, 273]).

Фиксированные полюса искали также в процессах фоторождения, аналогичных процессу В рассеянии назад в этой реакции имеется обмен нуклоном при что приводит к при фиксированном и, в то время как на опыте при , что отвечает а

Особенно интересно рассеяние вперед, потому что, как обсуждалось в разд. 6.8 к и 8.7 е, этот процесс описывается обменом -полюсом и конспирирующим разрезом Быстрое изменение около точки требует присутствия члена, отвечающего пионному полюсу [см. (8.7.5)]. Однако точка своей сигнатуры есть нефизическая точка для всех -канальных амплитуд процесса так как поэтому в обычном случае можно ожидать появления нефизического множителя, а не пионного полюса. Одно время казалось, что фиксированный полюс должен присутствовать, чтобы убрать нефизический множитель (как в описанном выше случае комптоновского рассеяния). Но так как точка есть точка своей сигнатуры, то такой фиксированный полюс должен был бы проявляться в асимптотике амплитуды, что на опыте не наблюдается. Поэтому мы опять должны предположить, что вершины связи с фотоном имеют необычный вид. Теперь значение совпадает с одним из порогов в реакции Вместе с приведенным выше примером комптоновского рассеяния создается впечатление, что необычное пороговое поведение запрещено (см. ссылки в [124]).

Подводя итоги, следует сказать, что (за исключением алгебры токов) мы не обнаружили достаточно серьезных подтверждений

существования необычных фиксированных полюсов в слабых амплитудах и вместе с тем есть некоторые свидетельства против них. Теоретически [350, 146, 272] есть основания предполагать, что когда токи взаимодействуют с составными частицами, например с частицами, построенными с помощью лестничного графика, как это показано на рис. то фиксированные полюса могут существовать только в нефизических точках соответственно. Последние полюса имеют отношение к масштабно-инвариантному поведению, наблюдаемому в глубоко неупругом рассеянии электронов (см. разд. 12.5). Однако все аргументы в пользу фиксированных полюсов возникают только при учете членов первого порядка по и могут быть неправильными. Поэтому при исследовании асимптотического реджевского поведения можно совершенно спокойно рассматривать фотон как адрон.

Рис. 12.9. a - Теоретико-полевая модель для вершины связи фотона с составным реджеоном. б - Вершина связи фотонов с лестницей, приводящая к фиксированному полюсу в точке (с точностью до членов первого порядка по )

Интересным следствием является электромагнитная разность масс в изотопических мультиплетах. Коттингем [134] показал, каким образом электромагнитный вклад в собственную энергию (т. е. в массу) частицы в первом порядке теории возмущений, получающийся при

Рис. 12.10. а — Однофотонная петля, приводящая к поправкам первого порядка к электромагнитной массе, неренормирующей пропагатор частицы. б - Модель для амплитуды виртуального комптоновского рассеяния а, основанная на обмене реджеонами а учете графиков испускания и поглощения фотона (рис. 12.10), может быть непосредственно связан с амплитудой комптоновского рассеяния вперед фотона с массой на данной частице:

где Амплитуду А можно выразить с помощью дисперсионного соотношения по следующим образом:

Если амплитуды без переворота спина определяются при высоких энергиях полюсами Редже, то можно ожидать, что скачки амплитуд с четной сигнатурой ведут себя как

Например, электромагнитная разность масс между протоном и нейтроном зависит от доминирующего обмена с четной сигнатурой и с т. е. от -траектории [221], так что ясно, что интеграл (12.4.17) будет расходиться и, следовательно, это выражение не даст возможности определить электромагнитную разность масс, пока не определена вычитательная константа. Однако разность масс определяется обменом с поскольку такие траектории не известны, доминирующий обмен (возможно, посредством реджевского разреза) обладает а поэтому интеграл сходится. Это дает основание сделать вывод, что как можно было ожидать (т. е. электромагнитные эфкты увеличивают массу пиона). Однако что противоречит этим предсказаниям. Этот критерий, основанный на величине а (0) реджеона, которым осуществляется обмен, может быть использован и для определения знака разности масс и в других случаях.

Описанное выше всего лишь один пример способа, с помощью которого известное реджевское асимптотическое поведение помогает пониманию природы слабых взаимодействий, в частности устанавливая определенные правила сумм.