3.3. Потенциальное рассеяние

В этом разделе будет дан краткий обзор поведения решений уравнения Шредингера при рассмотрении задач нерелятивистского потенциального рассеяния как функций переменной Как уже упоминалось ранее, при исследовании именно этих задач были впервые обнаружены полюса Редже [339]. Изучение этих задач имеет неоспоримое и чрезвычайно важное достоинство, заключающееся в том, что все результаты могут быть строго доказаны. Но поскольку потенциальное рассеяние имеет довольно отдаленное отношение к физике частиц, обсуждение будет носить довольно поверхностный характер. Заинтересовавшемуся читателю мы можем предложить для рассмотрения более полные работы, где все необходимые доказательства приведены в подробностях [365, 318, 17].

3.3а. Решения уравнения Шредингера

Если потенциал взаимодействия является функцией только (все рассмотрение происходит в полярных координатах), то решения уравнения Шредингера (1.13.3)

могут быть разложены по парциальным волнам (см., например, [355, с. 81])

Цилиндрическая симметрия устраняет любую зависимость от азимутального угла, а радиальная волновая функция удовлетворяет радиальному уравнению Шредингера (2.1.1)

Квантование углового момента, ограничивающее возможные значения I целыми положительными числами, является отражением требования, чтобы угловая зависимость в (3.3.2) была конечна при любых значениях угла уравнение (3.3.3) I входит как свободный параметр и ничто не мешает нам разрешить его при произвольном значении Теорема Пуанкаре (см. ниже) гласит, что решения подобного дифференциального уравнения — обычно аналитические функции таких параметров и поэтому можно надеяться, что будет аналитической функцией по переменной Стоит также подчеркнуть такое важное свойство уравнения (3.3.3), как его симметрия относительно замены а также замены

До тех пор пока рассматриваются «регулярные» потенциалы, т. е. когда при поведение решений уравнения (3.3.3) при малых контролируется центробежным барьером, возникающим из-за члена Этот член привносит дополнительный вклад, а часто просто обусловливает отталкивание в эффективном потенциале. С физической точки зрения этот член приводит к

дополнительным трудностям при удержании частиц вместе с большим относительным угловым их моментом вследствие того, что он создает центробежную силу. Если то можно пренебречь членами в (3.3.3). Очевидно, что уравнение имеет два линейно независимых решения, которые ведут себя как и соответственно, при Так как физическое решение должно быть конечно в начале координат, при то физическим решением уравнения (3.3.3) является решение, которое обозначим как

Это решение удовлетворяет следующему интегральному уравнению (см. Ньютон [318, с. 21], де Альфаро и Редже [17, с.

где функция Грина, которую можно выписать в явном виде с помощью функций Ганкеля и которая имеет вид

причем решение уравнения (3.3.3) при т. е.

где функция Бесселя. Прямой подстановкой можно убедиться, что (3.3.4) удовлетворяет уравнению (3.3.3) и граничному условию при

В том случае, если при потенциал и член, отвечающий центробежному барьеру, можно не рассматривать в (3.3.3) в области В этом пределе имеет смысл рассмотреть «нерегулярные» решения удовлетворяющие граничным условиям при поскольку эти решения отвечают падающей и выходящей плоским волнам, с помощью которых и определяется амплитуда рассеяния. Они удовлетворяют интегральному уравнению (см. Ньютон [318, с. 14], де Альфаро и Редже [17, с.

где та же функция Грина (3.3.5), а решение (3.3.3) при и т. е.

Чтобы получить другое, линейно независимое решение, нужно в (3.3.8) сделать замену

Поскольку любое решение (3.3.3) можно выразить с помощью одной из двух систем линейно независимых решений, то можно

связать физическое решение (3.3.4) с решением (3.3.7), имеющим На бесконечности плоские волны:

где функции называются функциями Йоста и удовлетворяют (де Альфаро и Редже [17, с. 59])

Следовательно, при

Теперь введем парциальные волны -матрицы следующим образом:

где фазовый сдвиг [см. (2.2.10)]. Они связаны с асимптотическим поведением регулярного решения

т. е. имеет смысл отношения выходящего потока к входящему для данной парциальной волны. В терминах функций Йоста она имеет следующий вид:

причем парциальная амплитуда рассеяния, полученная из этой -матрицы, равна

[см. (2.2.10), учет нерелятивистской кинематики приводит к замене ]

3.3б. Аналитические свойства решений

Аналитические свойства амплитуд можно легко вывести из рассмотрения аналитических свойств функций полученных с помощью (3.3.10).

Теорема Пуанкаре [334] гласит, что если некоторый параметр входит в дифференциальном уравнении только в функции, которые по нему голоморфны, и если граничные условия не зависят от этого параметра, то решения данного уравнения будут голоморфны по этому параметру.

Поскольку функции в уравнении аналитические функции по и мы рассматриваем функцию граничные условия становятся не зависящими от I, и регулярное решение должно быть аналитической функцией по переменной при Однако если то регулярное решение стремится к бесконечности при и поэтому точка не является точкой регулярности уравнения (3.3.3).

Для того чтобы попасть в область необходимо сделать аналитическое продолжение в интегральном уравнении (3.3.4), возможность которого сильно зависит от природы потенциала. В случае если потенциал сингулярный, при и если он еще является и потенциалом отталкивания, то граничное условие перестает зависеть от так как наиболее сингулярный член содержится в потенциале. Итак, мы теперь можем использовать симметрию уравнения (3.3.3) относительно замены для того, чтобы получить -матрицу при из (3.3.14):

Это отвечает симметрии Мандельстама (2.9.5). Однако в случае сингулярного потенциала притяжения -матрица не может быть определена таким способом, так как она содержит бесчисленное множество связанных состояний [171].

Однако в дальнейшем мы будем в основном касаться потенциалов, регулярных в начале координат и подобных обобщенному потенциалу Юкавы (1.13.17). Для таких потенциалов можно сделать разложения

и подставить их в (3.3.3). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем

Итак, функция мероморфная функция в плоскости Ее полюса лежат при т. е. когда 21 равняется отрицательным целым числам. Все это, конечно, справедливо лишь при условии, что ряд (3.3.17) сходится в некоторой окрестности точки Аналогичное утверждение справедливо и для функций Йоста в (3.3.9), с единственной оговоркой, что полюса при полуцелых значениях I исчезают вследствие симметрии Мандельстама. С другой стороны, так как положения полюсов при целых отрицательных значениях не зависят от то эти фиксированные полюса сократятся в отношении (3.3.14) и таким образом будут отсутствовать в -матрице.

Если потенциал исчезает в начале координат, например как и если его можно представить в виде (1.13.17), то это приводит [разлагая экспоненту в (1.13.17)] к

поэтому отсутствуют полюса функции при целых I, когда

Особый, промежуточный случай представляет собой потенциалы, которые содержат сингулярный член Этот член можно добавить к члену в (3.3.3), отвечающему за возникновение центробежного барьера, и тогда возникает член, отвечающий центробежному барьеру, с эффективным угловым моментом где Таким образом, полюса в плоскости при приводят к появлению точек ветвления в плоскости I при

причем положения этих точек ветвления зависят от

В сильных взаимодействиях, где поведение взаимодействия на малых расстояниях известно хуже всего, применимость изложенного выше анализа вызывает большие сомнения. Хотя тот факт, что потенциал Юкавы и его обобщения аналогичны тем потенциалам, которые возникают при обмене частицами и приводят к мероморфным функциям Йоста при позволяет предполагать, что аналогичное заключение может быть справедливо также и в физике частиц.

С помощью аргументов, совершенно аналогичных тем, которые были использованы выше, можно показать, что функция голоморфна по во всей плоскости так как к входит аналитическим образом в уравнение (3.3.3) и не появляется в граничных условиях. Подобным образом функция голоморфна по при Но в точке функция X имеет точку ветвления, которую можно увидеть прямо из выражения (3.3.8) для Решение при может быть получено с помощью продолжения вокруг этой сингулярности, заменяя х на Продолжение же в область можно сделать только с помощью серьезных методов. Было найдено, что функции Йоста обладают свойством вещественной (эрмитовой) аналитичности

Однако, если потенциал имеет вид потенциала Юкавы и ведет себя подобно при асимптотическая форма волновой функции отвечающая выходящей плоской волне, затухает быстрее, чем при если и поэтому решение в виде ряда отсутствует в данной области. Это явление происходит из-за того, что парциальная амплитуда имеет левый разрез в плоскости который начинается в точке как и должно было бы быть в соответствии с аналитическими свойствами, обсуждавшимися в разд. 1.13 и 2.6.

Зная сингулярности функций Йоста по и I, можно теперь перейти к рассмотрению сингулярностей парциальной амплитуды, которую с помощью (3.3.14) и (3.3.15) можно записать в виде

Ясно, что ее сингулярности по будут точно такими же у функций а именно: она будет иметь левый разрез, начинающийся в точке и правый разрез вдоль положительной оси начинающийся при как было найдено в разд. 1.13. Фактически, с помощью методов, основанных на использовании парциальных амплитуд, можно доказать, что для рассеяния в потенциале Юкавы справедливо представление Мандельстама [54]. Конечно, правый разрез является следствием условия унитарности и в случае целых I можно с помощью (3.3.15) и (3.3.21) получить

где — значения взятые выше или ниже разреза соответственно [ср. (2.2.7)]. Для того чтобы получить аналогичную формулу для случая нецелых необходимо устранить пороговое поведение [так же, как и в (2.6.8)], вводя амплитуды

которые являются эрмитово аналитичными и вдоль правого разреза О удовлетворяют следующему соотношению унитарности [ср. (2.6.23)]:

3.3.в. Полюса Редже

Помимо точек ветвления, которые мы обсуждали выше, не исключена возможность появления в выражении (3.3.22) полюсных особенностей. Причиной их появления может служить обращение в нуль Если это произойдет, скажем, при данном I и некотором то совершенно очевидно из (3.3.12), что при волновая функция будет экспоненциально подавлена как и этот полюс будет соответствовать связанному состоянию, лежащему при действительном отрицательном значении Так как является аналитической функцией от I, то положение этого полюса находится при где функция а определяется из условия

будет также аналитической функцией С другой стороны, если нуль функции расположен в области скажем, при то в окрестности можно написать

и, следовательно,

где С — некоторая константа. Таким образом, в -матрице (3.3.14) возникает полюс, отвечающий резонансному вкладу, в виде

(Заметим, что невозможна ситуация, когда так как тогда и должны обратиться в нуль в одном и том же месте, и соответственно также должно обратиться в нуль.) Итак, резонансы будут также лежать на реджевских траекториях, как и связанные состояния.

Рис. 3.1. Реджевские траектории для кулоновского потенциала [см. (3.3.29)]. При целых значениях I имеются вырожденные уровни атома водорода с главным квантовым числом где — радиальное квантовое число. (Я измеряется в единицах рндберг)

Для того чтобы найти реджевские траектории некоторого потенциала, необходимо провести исследование нулей функции Особенно простой вид имеют траектории в кулоновском потенциале Несмотря на то что в этом потенциале нарушаются требования сходимости при хорошо известно (см., например, Шифф [355, с. 138]), что фазы могут быть легко определены, если только устранить бесконечную часть происходящую от бесконечности радиуса взаимодействия. -матрица имеет вид [361]

Это выражение содержит полюса в точках, когда аргумент -функции, стоящей в числителе, равняется целым отрицательным числам и поэтому

причем связанные состояния возникают при

Это выражение является обычной, хорошо известной формулой Ридберга для атома водорода (рис. 3.1). Отметим, что при все траектории стремятся к бесконечности. Этот факт отражает такую

важную характеристику этого потенциала, как обмен безмассовыми фотонами.

В случае потенциалов подобных потенциалу Юкавы уравнение Шредингера может быть разрешено численными методами с помощью разложения в ряд (3.3.17). Некоторые примеры вычислений показаны на рис. 3.2. В потенциалах с достаточно сильным притяжением возникают связанные состояния при небольших значениях С ростом I из-за отталкивания, связанного с наличием центробежного барьера, эти состояния становятся все менее и менее связанными, и в результате могут проявить себя как резонансы с высоким спином. Как только эффективный потенциал становится слишком слабым для того чтобы создать полюс при данном траектория сразу начинает загибаться. В дальнейшем мы увидим, что в пределе основная траектория все время остается в области при любом значении т. е. она расположена в той области, где лежит фиксированный полюс функции Йоста с самым большим Это следствие того, что борновское приближение (1.13.16) или (1.13.18), которое ведет себя как при всех является хорошим приближением амплитуды рассеяния в этом пределе.

Рис. 3.2. Реджевские траектории для потенциала Юкавы с притяжением: при различных значениях из работы Ловласа и Мэссо [290]. Смотри также работу [16]

В действительности вследствие того, что первое борновское приближение доминирует при больших лидирующая реджевская траектория имеет асимптотическое поведение при даже в случае больших значений константы Однако в том случае, когда потенциал стремится к нулю при подходе к началу координат, т. е. при тогда траектория стремится в асимптотике к наибольшему целому числу Это

утверждение прямо следует из (1.13.18), так как если знаменатель этого выражения разложить в ряд при больших

то совершенно ясно из (3.3.19), что коэффициенты при степенях исчезают. Другим классом потенциалов, для которых вычислены траектории Редже, являются квадратичные потенциалы (см. [318]) и, в частности, трехмерный гармонический осциллятор где — классическая частота. Его собственные состояния равны (см. Морс и Фешбах [313, с. 1662])

давая траектории с поведением Данное свойство обусловливает особый интерес к этому потенциалу, так как в случае релятивистской кинематики, когда можно ожидать, что получится поведение траекторий вместо того, которое получается в нерелятивистском случае. А такое поведение соответствует тому, что наблюдают в физике частиц (см. гл. 5). На этом наблюдении основаны различные кварковые модели для мезонных траекторий (см. [139] и гл. 5). Эти модели используют статический вариант релятивистских уравнений Бете-Солпитера [см. (3.4.11)] вместо уравнения Шредингера с гармоническим осцилляторным потенциалом между кварками. Однако такие потенциалы не удовлетворяют требованию сходимости, т. е. при и поэтому не дают решений, отвечающих кварк-кварковому рассеянию. Но так как кварки до сих пор экспериментально не наблюдаемы, то нет ничего плохого в том, что они не могут выйти за пределы потенциала, т. е. отсутствует кварк-кварковое рассеяние

Для потенциалов с хорошим поведением можно, исходя из «размера» связанного состояния, определить наклон траектории ниже порога. Запишем уравнение Шредингера в следующем виде:

Мы ищем решение при где Продифференцируем (3.3.34) по получим

Умножая (3.3.34) на на и вычитая их друг из друга, получаем

но

Таким образом, левую часть равенства (3.3.36) можно записать как

Интегрируя обе части (3.3.36) по от О до получаем

Так как при (для случая связанного состояния), то левая часть исчезает в предельных случаях при условиях:

Подставляя затем (3.3.35) в правую часть (3.3.39), окончательно получаем следующее:

где параметр определенный в (3.3.40), имеет смысл среднего квадрата радиуса состояния, описываемого волновой функцией Это означает, что производная принимает положительные значения при

3.3г. N/D-метод

Когда встает задача о получении амплитуды рассеяния из потенциала, то ищут функцию, левый разрез которой в плоскости дается потенциалом, а правый разрез удовлетворяет соотношению унитарности (3.3.25). Существует метод решения уравнения Шредингера, основанный на использовании этих аналитических свойств, который называется -методом [54]. Этот метод вызывает большой интерес в связи с тем, что, в отличие от методов, основанных на использовании уравнения Шредингера, он легко обобщается применительно к физике частиц. Конечно, это все справедливо при том условии, что амплитуды рассеяния имеют ожидаемые аналитические свойства. Из (3.3.22) и (3.3.24) можно написать

И тогда из (3.3.21) сразу находим, что (для действительных следовательно, функция не имеет правого разреза в плоскости а только левый, обусловленный потенциалом и начинающийся от Отметим, что при Из аналогичных соображений функция не имеет левого, а содержит только правый разрез, который является следствием соотношения унитарности, причем при Обе функции аналитические функции.

Следовательно, можно написать дисперсионные соотношения

Если функции через левый разрез определить как то

в время как скачок на правом разрезе равен

Это можно получить с помощью (3.3.25). Таким образом, получается система уравнений:

Решение этих уравнений при заданном соответствует решению уравнения Шредингера с некоторым потенциалом. Конечно, задача состоит в отыскании Она довольно легко разрешается, если рассмотреть первое борновское приближение (1.13.16), скачок которого по равен

Если подставить этот скачок в (2.6.19), поменяв при этом местами (положив получим

Подстановкой этого выражения в (3.3.46) и (3.3.47) можно убедиться, что мы имеем очень хорошую аппроксимацию точного решения в области малых Вклад второго борновского приближения также может быть получен довольно просто [126], однако вычисление вкладов членов более высоких порядков представляет трудную задачу.

В рамках этого подхода полюса Редже появляются как нули функции т. е. уравнение неявно определяет функцию Таким образом, траектория может быть найдена наблюдением за движением нуля функции в плоскости Это является

указанием на то, что траектория будет иметь те же сингулярности, что и функция только правый разрез. Это высказывание находится в согласии с выводами, полученными в предыдущем разделе.