4.4. Парциальные амплитуды со спином

Основным поводом для введения спиральных амплитуд была необходимость дать основу для разложения по парциальным волнам так, чтобы можно было провести аналитическое продолжение по полному угловому моменту как это было сделано в гл. 2.

в начальном состоянии в системе центра масс s-канала имеются две частицы, движущиеся в противоположном направлении вдоль оси Начальное состояние может быть разложено по парциальным волнам с угловым моментом следующим образом:

где

-компонента множитель дает удобную нормировку. Мы включили индексы спина в неявное обозначение типа частиц в правой части (4.4.1) (см. разд. 1.2).

Аналогичным образом в конечном состоянии частицы распространяются в противоположных направлениях вдоль оси, направленной под углами по отношению к оси (см. рис. 2.1, в), и соответствующее разложение имеет вид

что получено при использовании (4.4.1), и где

— проекция на направление движения; проекция на ось матрица вращения, определенная в и соответствующая повороту к направлению, определяемому углами по отношению к оси

Благодаря сохранению углового момента можно определить парциальную амплитуду для рассеяния с данным т. е.

где вследствие сохранения проекции на ось Таким образом, полную амплитуду рассеяния (4.1.6) можно записать, используя (4.4.1), (4.4.3) и (4.4.6), в виде

где

Если мы выберем в качестве плоскости рассеяния плоскость то и с учетом формула (4.4.7) упрощается;

Это выражение можно сравнить с формулой (2.2.2) для случая бесспиновых частиц.

Парциальную амплитуду можно получить из (4.4.9), используя соотношение ортогональности а именно

Очевидно, что при рассеянии бесспиновых частиц, когда вследствие выражение (4.4.10) сводится к (2.2.1).

Величина в ряду (4.4.9) принимает целые или полуцелые значения, в зависимости от того, четно или нечетно число фермионов в s-канале, т. е. целое для бозон-бозонного или фермион-фермионного рассеяния и полуцелое для бозон-фермионного рассеяния. Сумма начинается со значения определенного в (4.4.8), которое не равно О или 1/2, поскольку, как было отмечено в разд. не имеет проекции на направление движения частиц, так что для начального состояния

Аналогичное выражение имеет место для частиц в конечном состоянии по отношению к их направлению движения. Очевидно, должно быть

Следуя аргументам, которые были развиты в разд. мы получим, что условие унитарности для парциальных амплитуд имеет вид

подобно выражению (2.2.7), но здесь суммирование идет по всем спиральностям промежуточного состояния

Аналогично (2.2.2) ряд (4.4.9) сходится только, пока мы не дойдем до ближайшей динамической особенности в -канале, т. е. только внутри малого эллипса Лемана, и, чтобы продолжить его наружу в окрестность физической области s-канала, необходимо сделать аналитическое продолжение. Однако, в отличие от в общем случае не являются целыми функциями z, так что существуют дополнительные «кинематические» особенности, которые необходимо учитывать при продолжении. Они могут быть получены непосредственно из так как, поскольку полиномы Якоби являются целыми функциями то особенности обусловлены множителем

и, таким образом, находятся при Они имеют довольно простую физическую интерпретацию: для рассеяния вперед есть проекции на ось в начальном и конечном состояниях соответственно. Поскольку угловой момент должен сохраняться, амплитуда рассеяния должна, очевидно, убывать при 1, за исключением

случая же самое относится и к рассеянию назад: где и соответствующие -компоненты У.

Таким образом, удобно определить s-канальные спиральные амплитуды, свободные от этих кинематических особенностей по следующим образом:

Эти амплитуды будут удовлетворять дисперсионным соотношениям при фиксированном включающем интегралы по динамическим особенностям по того же самого вида, что и амплитуды рассеяния бесспиновых частиц. Отметим, однако, что амплитуда (4.4.13) по-прежнему имеет кинематические особенности по которые мы обсудим далее (см. разд. 6.2).

Разумеется, для того чтобы получить разложение по парциальным волнам, мы могли бы повторить обсуждение этого раздела для -канальной спиральной амплитуды

где

будет свободна от кинематических особенностей по Обращение (4.4.14) имеет вид [аналогично (4.4.10)]

Для простоты мы опустили индексы каналов для спиральностей в парциальных амплитудах в (4.4.10) и (4.4.17), так как они всегда определяются инвариантами каналов.