§ 150. Симметричные уравнения прямой

Прямая проходящая через точку и имеющая направляющий вектор (§ 143), представляется уравнениями

выражающими коллинеарность векторов (рис. 173). Они называются симметричными (или каноническими) уравнениями прямой.

Замечание 1. Так как за точку можно взять любую из точек прямой а направляющий вектор а можно заменить направляющим вектором (§ 143), то каждой из величин по отдельности можно дать произвольное значение.

Пример 1. Написать симметричные уравнения прямой, проходящей через точки . В качестве можно взять точку А, за вектор а можно принять Симметричные уравнения будут:

Рис. 173

Если же в качестве взять В, а за а принять вектор то симметричные уравнения будут:

Замечание 2. Из трех уравнений

содержащихся в (2), только два (какие угодно) независимы, а третье является их следствием; например, вычитая из первого уравнения второе, найдем третье. Каждое из уравнений (4) представляет плоскость, проходящую через прямую перпендикулярно одной из координатных плоскостей; вместе с тем оно представляет проекцию прямой на соответствующую координатную плоскость (§ 149).

Пример 2. Симметричные уравнения прямой, проходящей через точки будут:

Выражение условно; оно означает (§ 102, замечание), что так что вместо (5) надо записать систему

Прямая перпендикулярна оси ОХ (так как ).

Пример 3. Симметричные уравнения прямой, проходящей через точки будут:

Эта запись означает, что

Величина принимает различные (любые) значения для различных точек прямой Прямая параллельна оси (так как ).