§ 203. Предел последовательности

Число называется пределом последовательности (§ 198, п. 3) если по мере возрастания номера член неограниченно приближается к

Точный смысл выражения «неограниченно приближается» объяснен ниже (вслед за примером 1).

Запись:

или подробнее

Значок — подчеркивает, что номер неограниченно возрастает («стремится к бесконечности»).

Пример 1. Рассмотрим последовательность

Член неограниченно приближается к десятичные дроби дают все более точные выражения дроби Следовательно, есть предел последовательности (1)

Замечание. Разность последовательно

равна т. е.

Неограниченность приближения выражается в том, что абсолютная величина разности (3), начиная с некоторого номера остается меньше любого (заранее данного) положительного числа 8. Так, если задать то т. е., начиная со второго номера, абсолютная величина остается меньшей 0,01. Если задать , то по-прежнему . Если то если то .

Теперь будет понятна следующая точная формулировка определения, приведенного в начале параграфа.

Определение. Число называется пределом последовательности если абсолютная величина разности начиная с некоторого номера остается меньшей любою аараье» данного положительного числа

(номер зависит от величины с).

Пример 2. В последовательности члену по мере возрастания номера стремится к 2. Следовательно, 2 есть предел последовательности.

В самом деле, имеем ; а величина , начиная с некоторого номера, гается меньшей любого заранее дан кого положительного числа (если , то начиная с первого номера; если то 51-го и т. д.).

Пример 2 показывает, что члены последовательности могут быть то больше, то меньше предела. Они могут и равняться пределу (см. пример 3).

Пример 3. Последовательность

заданная формулой имеет предел .

Действительно, величина начиная с некоторого номера, остается меньше любого заранее данно положительного числа то начиная с седьмого номера; если то с 201-го и т. д.

Пример 4. Последовательность не имеет предела: члены и т. д. не стремятся ни к какому постоянному числу.