§ 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела

При неизменных пределах интеграл от данной функции имеет определенное числовое значение. Если же верхний (или нижний) предел способен принимать различные значения, то интеграл становится функцией от верхнего (или нижнего) предела. Вид ее зависит от вида подынтегральной функции (а также от значения постоянного нижнего предела). О характере зависимости см. § 321, теорема 2.

Пример 1. Интеграл имеет числовое значение 1, интеграл значение 4, интеграл значение и т. д. Следовательно, есть функция она выражается формулой

Замечание. В формуле (1) переменная интегрирования и переменный верхний предел обозначены разными буквами так как эти переменные играют разную роль в процессе интегрирования. Именно, сначала мы вычисляем предел суммы (§ 314)

где взяты между и а числа принадлежат промежуткам . В этом процессе остается постоянной.

Затем подвергается изменению, и теперь мы уже не имеем дела с переменной Если вместо (1) записать:

то упомянутое различие затушевывается.

Тем не менее часто пользуются записью (2) и вообще пишут:

(a также и т. п.). Дело в том, что после выполнения интегрирования переменный предел

имеет тот же смысл (геометрический, механический и т. д.), что и переменная интегрирования (см. примеры 2 и 3).

Пример 2. Площадь треугольника (рис. 341) выражается интегралом

Пусть ордината подвижна: тогда интеграл (4) есть функция верхнего предела; в соответствии с этим запишем вместо а:

Запись (5) безупречна, но неудобна, так как в формуле буква представляет абсциссу, а последнюю мы обозначили через Поэтому часто предпочитают не вполне точную запись

Пример 3. Скоростью свободно падающего тела выражается формулой

Путь пройденный падающим телом за промежуток времени равен (§ 317, п. 1) интегралу

Запись (8) безупречна, но в формулах (7) и (8) аргументы имеют различные обозначения, тогда как их

Рис. 341

физический смысл — один и тот же. Поэтому вместо (8) пишут: