§ 241. Обратная функция

Если из соотношения вытекает соотношение то функция называется обратной (относительно функции

Пример 1. Для функции обратной является (двузначная) функция

Пример 2. Для функции обратной является (бесконечно многозначная) функция (определенная для всех значений у, меньших единицы по абсолютному значению).

Замечание. Обратная функция, как правило, многозначна. От многозначности можно освободиться, если сузить область изменения аргумента для исходной функции. Так, в примере 1 можно устранить отрицательные значения аргумента и тогда обратная функция будет однозначной.

Если сохранить прежние обозначения переменных, то график функции служит одновременно графиком обратной функции

Но обычно обозначения переменных меняют ролями и аргумент обратной функции обозначают буквой как и аргумент прямой функции.

Пример 3. Для функции обратной (однозначной) функцией является для функции обратной функцией является

При этих обозначениях графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой (рис. 235).

Производная обратной функции. Производная обратной функции равна единице, деленной на производную исходной функции:

Пример 4. Рассмотрим функцию при положительных значениях Обратная функция (рис. 236) есть Имеем:

Рис. 235

Рис. 236