§ 93. Основные теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Теорема справедлива при обоих смыслах термина «проекция вектора» и при любом числе слагаемых; так, при трех слагаемых

и

Формула (1) вытекает из определения сложения векторов, формула (2) — из правила сложения положительных и отрицательных чисел.

Пример 1. Вектор (рис. 139) есть сумма векторов и Геометрическая проекция вектора на ось ОХ есть вектор а геометрические проекции векторов и есть и При этом

Рис. 139

так что

Пример 2. Пусть (см. рис. 139) есть единица масштаба; тогда алгебраическая проекция вектора на ось ОХ равна 4 (длина АВ, взятая со знаком плюс), т. е. пр Далее (длина ВС, взятая со знаком минус) и пр (длина АС, взятая со знаком плюс). Имеем

с другой стороны,

так что

Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пример 3. Вектор (рис. 140) образует с осью ОХ (она задана вектором а) угол 60°. Если есть единица масштаба, то так что

Действительно, длина вектора (геометрической проекции вектора равна 2, а направление совпадает с направлением оси ОХ (ср. § 92, п. 2).

Рис. 140

Пример 4. Вектор на рис. 141 образует с осью ОХ (с вектором а) угол Длина вектора равна 4, поэтому пра .

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

Рис. 141