§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница

Нижеследующая теорема сводит вычисление определенного интеграла к нахождению неопределенного интеграла (ср. § 323).

Теорема. Интеграл от дифференциала функции равен приращению функции на промежутке интегрирования:

Другими словами: если есть какая-либо первообразная подынтегральной функции то

Формулу (2) часто называют формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 1. Имеем (§ 314):

Подынтегральное выражение есть дифференциал функции При переходе от функция получает приращение . Формула (3) выражает то, что интеграл равен этому приращению.

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Заметив, что подынтегральное выражение есть дифференциал функции получаем по формуле (2):

Пояснение. Интеграл равен (§ 314) пределу суммы

Первое слагаемое есть дифференциал функции для промежутка второе — для промежутка Заменим каждый дифференциал соответствующим приращением. Получим сумму

Раскроем скобки. Все члены, кроме уничтожатся, так что сумма (6) в точности равна

При переходе от формулы (5) к (6) допущен ряд погрешностей, но каждая из них имеет высший порядок относительно соответствующего приращения аргумента. Поэтому, несмотря на накопление погрешностей, сумма последних бесконечно мала. Значит, выражение (5) при неограниченном возрастании числа его членов отличается от на бесконечно малую величину. Другими словами, есть предел суммы (5), т. е.

Таким же образом выводится общая формула (1).

Механический смысл. Пусть точка движется в одном направлении и пусть расстояние от точки до ее начального положения в момент Производная есть скорость (§ 223). Значит, интеграл выражает путь (§ 317), пройденный с момента времени по момент

Но в момент расстояние от начального пункта есть в момент оно равно Значит,

Сопоставляя формулы (7) и (8), получаем: