§ 21. Угол между двумя прямыми

Пусть две неперпендикулярные прямые (взятые в данном порядке) представляются уравнениями

Тогда формула

дает угол, на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельной второй.

Пример 1. Найти угол между прямыми (рис. 20).

Здесь По формуле (3) находим:

отсюда Это значит, что прямая на рис. 20), повернутая на угол около точки пересечения данных прямых (пример 1 § 19), совместится с прямой на рис. 20). Можно взять также

Рис. 20

(Эти углы обозначены на рис. 20.)

Пример 2. Найти угол между прямыми Прямые здесь — те же, что в примере 1, но теперь прямая (см. рис. 20) — первая, а прямая АВ - вторая. Формула (3) дает т. е. (или или и т. д.). На этот угол надо повернуть прямую до совмещения с

Пример 3. Найти прямую, проходящую через начало координат и пересекающую прямую под углом 45°.

Решение. Искомая прямая представляется уравнением Угловой коэффициент а можно найти из формулы (3), взяв вместо угловой коэффициент данной прямой (т. е. положив вместо возьмем угловой коэффициент а искомой прямой, а вместо угол +45° или -45°. Получаем:

Задача имеет два решения: (прямая АВ на рис. 21) и (прямая CD).

Замечание 1. Если прямые (1) и (2) перпендикулярны , то выражение стоящее в знаменателе формулы (3), обращается в нуль (§ 20) и частное перестает существовать. Одновременно перестает существовать («обращается в бесконечность») Формула (3), понимаемая буквально, теряет смысл; но в этом случае ее нужно понимать условно. Именно, всякий раз, как в знаменателе появляется

Рис. 21

нуль, угол надо считать равным ±90° (как поворот на +90°, так и поворот на -90° совмещает любую из перпендикулярных прямых с другой).

Пример 4. Найти угол между прямыми . Если предварительно поставить вопрос: перпендикулярны ли эти прямые, то по признаку (3) § 20 получим утвердительный ответ, так что и без формулы (3) получаем ±90°. То же дает и формула (3). Мы получаем:

В соответствии с замечанием 1 это равенство нужно понимать в том смысле, что .

Замечание 2. Если хотя бы одна из прямых (или обе) параллельна оси то формула (3) вовсе неприменима, так как тогда одну из прямых (или обе) нельзя представить (§ 15) уравнением вида (1). В этом случае угол определяется следующим образом:

а) когда прямая параллельна оси не параллельна, применяем формулу

б) когда прямая параллельна оси а не параллельна, применяем формулу

в) когда обе прямые параллельны оси они параллельны и между собой, так что

Замечание 3. Угол между прямыми, заданными уравнениями

и

можно найти по формуле

При формула (6), понимаемая условно (см. замечание 1), дает (ср. § 20, формула (5)).