§ 418. Ряд Фурье для разрывной функции

Теорема § 416 допускает следующее обобщение.

Теорема Дирихле. Пусть функция непрерывна во всех точках промежутка кроме точек (в конечном числе), где она имеет скачки (§ 219а). Если при этом в промежутке имеется лишь конечное число экстремумов (или их вовсе нет), то ряд Фурье для функции сходится всюду. При этом:

1) на обоих концах сумма ряда равна

2) в каждой точке разрыва сумма ряда равна

где символ обозначает предел, к которому стремится когда стремится к слева, предел при справа;

3) в остальных точках промежутка сумма ряда равна

Замечание 1. Интегралы

входящие в коэффициенты Фурье, в рассматриваемом случае — несобственные (§ 328).

Пример. Рассмотрим функцию определенную в промежутке следующим образом:

Эта функция разрывна при , где у нее — скачок. Действительно, имеем (см. рис. 427, где изображена функция периодически продолженная за пределы промежутка ):

Находим коэффициенты Фурье (функция нечетная):

Рис. 427

Следовательно,

Во всех внутренних точках промежутка кроме точки разрыва сумма ряда Фурье равна т. е. при имеем:

а при имеем:

В точке разрыва сумма ряда Фурье равна

(все члены ряда — нули). На концах промежутка сумма тоже равна

На рис. 428 видно, как частичные суммы постепенно подходят к . В первой (сверху) полосе дан график во второй полосе сплошной линией изображен график

Здесь же дан (штриховой линией) график , а также (пунктиром) график Ниже следует график причем пунктиром и штриховой линией изображены Аналогично построен последний график.

Замечание 2. В теореме Дирихле пункты 1 и 3 по существу являются частными случаями пункта 2. Действительно, если то концы промежутка являются точками

Рис. 428

разрыва периодически продолженной функции Если же есть внутренняя точка непрерывности, то оба предела — левый и правый равны так что

Таким образом, теорему Дирихле можно сформулировать короче следующим образом:

Пусть периодическая функция непрерывна во всех точках промежутка кроме точек (в конечном числе), где она имеет скачки. Если при этом в промежутке имеется лишь конечное число экстремумов (или их вовсе нет) то ряд Фурье для функции сходится всюду, и его сумма всюду равна