§ 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии

Кривизна К выражается формулой

В координатной форме

Если за параметр принята дуга, то формулы (1) и (2) упрощаются:

В соответствии с формулой (1а) вектор называется вектором кривизны. Этот вектор равнонаправлен с вектором ведущим от точки линии к центру кривизны С.

Радиус кривизны находится по формуле

Сюда надо подставить одно из выражений (1), (2), (1а), (2а).

Радиус-вектор центра кривизны равен

и выражается (в силу (2) § 361) следующей формулой:

В соответствии с этим координаты центра кривизны выражаются формулами

где для краткости введены следующие обозначения:

Если за параметр принять дугу, то формулы (5) и (6) после упрощений примут вид

Замечание. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии (§ 344) получаются из этих формул, если положить

Пример. Найти кривизну, радиус и центр кривизны винтовой линии

Решение. Приняв за параметр длину дуги, имеем (§ 350):

Дифференцируя дважды, находим:

Формулы (2a) и (3) дают:

т. е. кривизна и радиус кривизны постоянны. Формулы дают:

Из (10) видно, что для построения центра кривизны надо радиус цилиндра, несущего винтовую линию, продолжить за ось цилиндра на постоянное расстояние Значит, центр кривизны винтовой линии опишет винтовую линию с тем же шагом нанесенную на цилиндр радиуса (с той же осью).

Симметрия соотношения показывает, что линии взаимны, т. е. центр кривизны линии опишет линию