§ 24. Пучок прямых

Через одну точку (рис. 23) проходит множество прямых, именуемое центральным пучком (или просто пучком). Точка называется центром пучка. Каждую из прямых пучка (кроме той, которая параллельна оси ординат; см. ниже замечание 1) можно представить уравнением

Здесь угловой коэффициент рассматриваемой прямой Уравнение (1) называют уравнением пучка. Величина (параметр пучка) характеризует направление прямой; она меняется от одной прямой пучка к другой.

Значение параметра можно найти, если дано еще какое-либо условие, которое (вместе с условием принадлежности

Рис. 23

прямой данному пучку) определит положение прямой (см. пример 2).

Пример 1. Составить уравнение пучка с центром в точке

Решение. Согласно уравнению (1) имеем:

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой

Решение. Искомая прямая принадлежит пучку с центром (1; 4). Уравнение этого пучка Чтобы найти значение параметра учтем, что искомая прямая перпендикулярна прямой угловой коэффициент последней есть Имеем (§ 20) , т. е. Искомая прямая представляется уравнением или

Замечание 1. Прямая, принадлежащая пучку с центром и параллельная оси представляется уравнением это уравнение не получается из (1) ни при каком значении Все без исключения прямые пучка можно представить уравнением

где произвольные числа (не равные нулю одновременно). Когда мы можем разделить уравнение (2) на Тогда, обозначив через получим уравнение (1). Если же положить то уравнение (2) принимает вид

Замечание 2. Уравнение пучка, в состав которого входят две пересекающиеся прямые заданные уравнениями

имеет вид

В нем произвольные числа (не равные нулю одновременно). В частности, при получаем прямую при прямую Вместо (3) можно написать уравнение

в котором всевозможные значения даются только одной букве А, но из (4) нельзя получить уравнение прямой

Уравнение (1) есть частный вид уравнения (4), когда прямые даны уравнениями (тогда они параллельны осям координат).

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и перпендикулярной прямой

Решение. Искомая прямая (она заведомо не совпадает с прямой принадлежит пучку

Угловой коэффициент прямой (5) есть Так как комая прямая перпендикулярна прямой то (§ 20). Следовательно, т. е. Подставляя в (5), находим после упрощений:

Замечание 3. Если прямые параллельны (но не совпадают), то уравнение (3) при всевозможных значениях представляет все прямые, параллельные двум данным. Множество прямых, параллельных между собой, называется параллельным пучком. Таким образом, уравнение (3) представляет либо центральный, либо параллельный пучок.