§ 92. Проекция вектора на ось

Выражение «проекция вектора на ось употребляется в двух разных смыслах: геометрическом и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ называется вектор (рис. 135), начало которого А есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В — проекция конца В на ту же ось.

Обозначение: или, короче, Если ось ОХ задана вектором с, то вектор называется также проекцией вектора на направление вектора с и обозначается

Геометрическая проекция вектора на ось ОХ называется также компонентой вектора по оси

2. Проекцией (алгебраической) вектора на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора взятая со знаком или смотря по тому, имеет ли вектор то же направление, что и ось ОХ (вектор с), или противоположное.

Обозначение: прох или Замечание. Геометрическая проекция (компонента) вектора есть вектор, а алгебраическая проекция вектора есть число.

Пример 1. Геометрическая проекция вектора (рис. 136) на ось ОХ есть вектор Его направление

Рис. 135

Рис. 136

противоположно направлению оси, а длина (при единице масштаба равна 2. Значит, алгебраическая проекция вектора на ось ОХ есть отрицательное число -2:

Если векторы и (рис. 137) равны, то их алгебраические проекции по одной и той же оси тоже равны пр То же для геометрических проекций.

Алгебраические проекции одного и того же вектора на две равнонаправленные оси на рис. 138) равны То же для геометрических проекций.

Рис. 137

Рис. 138

3. Связь между компонентой (геометрической проекцией) и алгебраической проекцией вектора. Пусть есть вектор, равнонаправленный с осью ОХ и имеющий длину 1. Тогда геометрическая проекция (компонента) какого-либо вектора а по оси ОХ равна

произведению вектора на алгебраическую проекцию вектора а по той же оси:

Пример 2. При обозначениях рис. 136 имеем Геометрическая проекция вектора на ось ОХ есть вектор алгебраическая проекция того же вектора есть число -2 (см. пример 1). Имеем .