§ 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда

Теорема 1. Если степенной ряд имеет радиус сходимости и сумму

то ряд, полученный его почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости и его сумма есть производная функции

Следовательно, сумма степенного ряда есть дифференцируемая функция; притом она имеет производные любого порядка (так как к ряду (2) снова можно применить теорему 1 и т. д.).

Замечание 1. Если ряд (1) расходится на каком-либо конце промежутка то на этом конце ряд (2) тоже расходится. Сходимость же ряда (1) на конце промежутка может сохраниться в ряде (2), но может и нарушиться.

Замечание 2. Сходимость ряда (2) несколько хуже, чем ряда (1) (так как по абсолютному значению больше, чем ).

Пример 1. Последовательно дифференцируя

у которого получаем ряды с тем же радиусом сходимости. Их суммы есть последовательные производные от :

Ряд (3) расходится на обоих концах промежутка сходимости, ряды (4)-(6) - тоже.

Пример 2. Ряд (3) получается дифференцированием ряда

Ряд (7) расходится при и сходится при но после дифференцирования сходимость на конце нарушается.

Теорема 2. Ряд, полученный почленным интегрированием ряда (1) в пределах от нуля до имеет тот же радиус сходимости и его сумма равна

Замечание 3. Если ряд (1) сходится на одном из концов промежутка то на этом конце ряд (8) тоже сходится, и формула (8) остается в силе. Расходимость же ряда (1) на конце промежутка может сохраниться в ряде (8), но может и нарушиться. Сходимость ряда (8) несколько лучше, чем ряда (1).

Пример 3. Радиус сходимости геометрической прогрессии

равен единице. Интегрируя почленно, получаем (при ):

Радиус сходимости ряда (10) тоже равен единице. На конце ряд (9) расходится, а ряд (10) сходится (по признаку Лейбница), и мы имеем:

На конце ряд (10), как и (9), расходится (по интегральному признаку).

Пример 4. Интегрируя почленно ряд

(§ 272, пример 2), для которого получаем:

где любое число. Отсюда находим разложение функции

Здесь тоже