§ 505. Декартов лист

1. Исторические сведения. В 1638 г. Р. Декарт, чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило Ферма для нахождения касательных, предложил Ферма найти касательную к линии При обычном для нас толковании отрицательных координат эта линия, которую в 18 веке стали называть декартовым листом, состоит из петли (рис. 482) и двух бесконечных ветвей Но в таком виде ее представил впервые X. Гюйгенс(в 1692 г.). До этого линию представляли в виде четырех лепестков (один из них симметрично расположенных в четырех координатных углах. Поэтому ее называли «цветком жасмина».

2. Уравнение декартова листа в прямоугольной системе обычно записывают в виде

Коэффициент За выражает диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли, так что

Уравнение в полярной системе (О — полюс, ОХ - полярная ось):

Рис. 482

Рациональное параметрическое представление :

Особенности формы. Точка О — узловая. Касательные, проходящие через О, совпадают с осями координат. Прямая есть ось симметрии. Точка

За наиболее удаленная от узловой точки, называется вершиной. Прямая асимптота обеих бесконечных ветвей.

3. Уравнение относительно оси симметрии. Если ось симметрии принять за ось абсцисс, направив последнюю от узла О (начала координат) к асимптоте (рис. 483), то в прямоугольной системе декартов лист представится уравнением

где .

Соответствующее уравнение в полярной системе:

Рис. 483

Рациональное параметрическое представление

4. Радиус кривизны: в вершине в узловой левой точке .

5. Площадь S1 петли и площадь S2 (бесконечной) полосы между бесконечными ветвями и асимптотой равны между собой и выражаются формулой

6. Наибольший поперечник петли:

Расстояние от него до узла:

7. Построение. Чтобы построить декартов лист с диаметром петли I, проведем окружность А радиуса и какую-либо прямую параллельную Далее проведем прямые и перпендикулярные и отметим точки их пересечения с Наконец, отложим на луче отрезок и проведем прямую Теперь искомая линия строится по точкам следующим образом.

Через О проводим любую прямую и через точку где эта прямая пересекает (вторично) окружность, проводим Точку где пересекает прямую соединяем с А и отмечаем точку К, где пересекает Проводим прямую до пересечения с прямой в точке Наконец, откладываем на прямой отрезок равный и равнонаправленный с отрезком Прямая , проведенная через параллельно пересечет прямую в точке

Эта точка (а также точка симметричная ей относительно АО), принадлежит искомой линии.

Когда точка исходя из О, описывает окружность А против часовой стрелки, точка описывает траекторию