§ 58. Линии второго порядка

Эллипс (в частности, окружность), гипербола и парабола являются линиями второго порядка, т. е. во всякой системе декартовых координат представляются уравнениями второй степени. Но не всякое уравнение второй степени представляет одну из упомянутых линий. Может, например, случиться, что уравнение второй степени представляет пару прямых. Пример 1. Уравнение

распадающееся на два уравнения представляет пару прямых, пересекающихся в начале координат.

Пример 2. Уравнение

распадающееся на уравнения представляет пару параллельных прямых. Пример 3. Уравнение

т. е. представляет одну прямую но ввиду того, что в левую часть (3) двучлен входит множителем дважды, принято считать, что (3) представляет две слившиеся прямые.

Может случиться так, что уравнение второй степени представляет только одну точку. Пример 4. Уравнение

имеет только одно действительное решение, именно . Оно представляет точку (0; 0). Впрочем, (4) распадается на два уравнения с мнимыми коэффициентами. Поэтому говорят, что уравнение (4) представляет «пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке».

Наконец, может оказаться, что уравнение второй степени не представляет никакого геометрического места.

Пример 5. Уравнение

не представляет ни линии, ни даже точки, так как величина не может иметь положительного значения. Однако ввиду внешнего сходства уравнения (5) с уравнением эллипса говорят, что уравнение (5) представляет «мнимый эллипс». Пример 6. Уравнение

тоже не представляет ни линии, ни даже точки. Но так как оно распадается на уравнения то говорят (ср. пример 2), что (6) представляет «пару мнимых параллельных прямых».

Коническими сечениями и парами прямых исчерпываются все линии, которые могут представляться уравнением второй степени в декартовой системе координат. Иными словами, имеет место следующая теорема.

Теорема. Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпавших).

План доказательства. С помощью преобразования координат данное уравнение второй степени приводится к более простому виду, и тогда мы либо получаем одно из канонических уравнений

либо обнаруживаем, что уравнение второй степени разлагается на два уравнения первой стенени. Вместе с тем мы находим размеры линии второго порядка и расположение ее относительно первоначальной системы координат (например, для эллипса — длины осей, их уравнения, положение центра и т. п.).

В §§ 61—62 упомянутые преобразования проведены полностью.