§ 370. Остаток ряда

Если отбросить первые членов ряда

то получим ряд

который сходится (или расходится), если сходится (или расходится) ряд (1). Поэтому при исследовании сходимости ряда можно оставить без внимания несколько начальных членов.

В случае, когда ряд (1) сходится, сумма

ряда (2) называется остатком (или остаточным членом) первого ряда первый остаток, второй и т. д.). Остаток есть погрешность при замене суммы ряда (1) частичной суммой Сумма ряда и остаток связаны соотношением

При остаток ряда стремится к нулю. Практически важно, чтобы это стремление было «достаточно быстрым», т. е. чтобы остаток стал меньше допустимой погрешности при не слишком большом Тогда говорят, что ряд (1) сходится быстро, в противном случае говорят, что ряд сходится медленно. Разумеется, быстрота или медленность сходимости — понятие относительное.

Пример 1. Ряд

сходится крайне медленно. Просуммировав двадцать его членов, мы получаем значение суммы ряда лишь с точностью до чтобы достичь точности до надо взять не менее чем 19 999 членов (см. пример 4 § 369).

Пример 2. Ряд

(геометрическая прогрессия) сходится гораздо быстрее ряда (5); уже пятнадцатый его остаток по абсолютной величине меньше чем так что точность до обеспечивается пятнадцатью членами.

Пример 3. Ряд

(его сумма равна числу § 272, пример 1) сходится еще быстрее: точность до обеспечивается восемью членами ряда.