§ 226. Производные некоторых простейших функций

1. Производная постоянной величины равна нулю

Физический смысл (§ 223): скорость неподвижной точки равна нулю.

Геометрический смысл: угловой коэффициент прямой на рис. 229) равен нулю (ср. § 225, пример 3).

Замечание. При некоторых значениях функция может иметь нулевую производную и не будучи постоянной. Так, производная (§ 224, пример 3) равна нулю при .

Но если производная равна нулю тождественно, то функция обязательно постоянна (§ 265, теорема 1).

2. Производная независимой переменной равна единице:

Геометрический смысл: угловой коэффициент прямой равен единице.

Физический смысл: если путь, пройденный телом, численно равен времени пребывания в движении, то скорость численно равна единице.

3. Производная линейной функции есть постоянная величина а:

4. Производная степенной функции равна произведению показателя степени на степенную функцию, у которой показатель на единицу меньше:

Примеры.

Рис. 229