§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции

Теорема. Пусть функция непрерывна в замкнутом промежутке и либо не имеет здесь экстремумов, либо имеет их конечное число. Тогда ряд Фурье для этой функции сходится всюду. Его сумма равна для всякого значения внутри промежутка На обоих же концах сумма равна

т. е. среднему арифметическому между

Пример. Рассмотрим функцию она непрерывна в замкнутом промежутке и не имеет

экстремумов. Коэффициенты ее ряда Фурье — нули. Действительно,

Первое слагаемое после подстановки преобразуется в и в сумме со вторым дает нуль:

Коэффициенты находятся интегрированием по частям:

Ряд Фурье для функции имеет вид

Согласно теореме ряд (5) всюду сходится; при его сумма равна

При сумма равна

Это очевидно, так как все члены ряда обращаются в нуль.

При формула (6) дает ряд Лейбница (§ 398)

На рис. 422 изображен график 5-й частичной суммы ряда Фурье для функции

который дает представление о степени близости между частичной суммой ряда (5) внутри промежутка и самой функцией График колеблется около прямой для одних значений получаются недостаточные значения, для других — избыточные.

Линия проходит через точки и поэтому вблизи этих точек резко отрывается от прямой

Рис. 422

Картина остается той же и для последующих частичных сумм Только размер промежутка, где наблюдается резкий отрыв, неограниченно уменьшается с ростом На концах промежутка все частичные суммы равны нулю и, значит, не приближаются к значениям функции в точках Во всяком же внутреннем промежутке, концы которого не совпадают с точками ряд (5) сходится, и притом равномерно, к функции Но сходимость плохая; так, взяв значение получим ряд (7), который (по признаку Лейбница; § 376) сходится крайне медленно.

Замечание 1. Функция определена и вне промежутка но так как она — не периодическая, то при и при сумма ряда (5) не равняется (ср. § 415, замечание). График суммы ряда (5) состоит (рис. 423) из множества отрезков, полученных горизонтальным смещением отрезка на Все отрезки лишены концов и вместо последних взяты точки делящие пополам отрезки и т. д.

Замечание 2. Рассмотрим периодическую функцию ее период равен Внутри промежутка она совпадает с функцией

Рис. 423

f(x) = x (см. рис. 423). В точках эта функция не определена и имеет разрыв. Ряд Фурье для совпадает с рядом Фурье для и теперь сумма ряда Фурье равна не только внутри промежутка но и всюду за исключением, конечно, точек разрыва . В них она равна нулю.